Temas Basicos De Matematias

“OPERANDO EXPRESIONES ALGEBRAICAS”

Se define una expresión algebraica como “la combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras representan cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas” . Las expresiones algebraicas permiten traducir expresiones del lenguaje habitual al lenguaje matemático. Ejemplo: Si se quiere expresar el perímetro y el área de un terreno rectangular, el largo del terreno, mide “ ” metros y “ ” metros de ancho, entonces:

Perímetro= 2x+2y Área = x y

Otros ejemplos:

El doble de un número 2n

La mitad de un número n/2

El doble de la suma de m y n 2(m+n)

El cubo de n disminuido en 7 n3-7

El triple del cuadrado de p 3p2

El triple de la suma de m, n y p 3(m+n+p)

Alcides Astorga del Instituto Tecnológico de Costa Rica, define una expresión algebraica como “una combinación de constantes y potencias de variables que estén ligadas por algunos de los símbolos +, -, *, /, en un número finito y cada cantidad separada de otras por el signo + ó -, recibe el nombre de Término Algebraico” .

En un término se deben distinguir los siguientes elementos:

• Variables: Son cantidades expresadas con letras que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales, para representarlas se utilizan las últimas letras del abecedario (x,y,z).

• Constantes: Son cantidades fijas expresadas con letras, para representarlas se utilizan las primeras letras del abecedario (a,b,c).

• Coeficiente: es el factor numérico, indica las veces que el factor literal se repite como sumando. En el término 6a2 el coeficiente es 6, también puede ser una literal, así en el término mx el coeficiente es m.

• Exponentes: Son los superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones.

• El signo, que precede al término, puede ser + o -.

Una expresión que contiene un término se llama monomio, si contiene dos términos se habla de binomio, de trinomio si contiene tres términos y si contiene más términos se habla de polinomio.

Por ejemplo, si se tienen cajas de plástico con 4 espacios para bebidas, se puede denominar a cada caja que tengan todos sus espacios con bebidas mediante la letra “a”, a cada caja que tenga un espacio libre mediante la letra “b”, “c” a cada caja que tengan 2 espacios libres, “d” a cada caja que tengan 3 espacios libres y “e” a cada caja que no tenga bebidas.

Así, la expresión 3a + 5b + c +5d + e indica que hay 3 cajas llenas con bebidas, 5 a las que les falta una bebida, 1 a la que le faltan 2 bebidas, 5 a la que le falta 3 bebidas y una que no tiene bebidas.

Simplificación de términos semejantes:

Si una bodega tiene distintos estantes y se quiere construir un inventario con el número de cajas de bebidas de distinto tipo (ejemplo anterior).

En el primer estante hay 4 cajas llenas con las bebidas y 2 con 2 espacios libres y 24 con 3 espacios libres. La expresión:

(4a + 2c + 24d)

representa la situación en el primer estante.

En el segundo estante hay 1 caja con un espacio libre y 5 con 3 espacios libres. La expresión:

(b + 5d)

representa la situación en el segundo estante.

En el tercer estante hay 8 cajas llenas y 2 con 2 espacios libres. La expresión

(8a + 2c)

representa la situación en el tercer estante.

Luego en la bodega se tiene

(4a + 2c + 24d)+ (b + 5d) + (8a + 2c) = (4a + 8a) + b + (2c + 2c) + (24d + 5d)

lo que se puede reducir a 12a + b + 4c + 29d.

Luego la simplificación de términos semejantes significa sumar o restar los términos que tengan los mismos factores literales.

5.1. EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Se evalúa una expresión algebraica cuando se asigna valores numéricos a los factores literales.

En el ejemplo anterior (de la bodega), si se quiere determinar cuántas bebidas hay en total. Así las cajas tipo “a” contienen 4 bebidas, las tipo “b” contienen 3 bebidas, las tipo “c” contienen 2 bebidas, las tipo “d” contienen 1 bebida y las tipo “e” contienen 0 bebidas. Luego para determinar el número total de bebidas que se tiene en la bodega basta sustituir a = 4, b= 3, c=2, d=1 y e=0.

Así la expresión: 12a + b + 4c + 29 d = 12(4)+3+4(2)+29(1)=48+3+8+29 = 88

Luego se tiene 88 bebidas en la bodega.

Asimismo para contar los espacios libres en las cajas sirve la misma expresión algebraica sustituyendo ahora a = 0, b = 1, c=2, d=3, e=4

12a + b + 4c + 29d = 12(0) + (1) + 4(2) + 29(3) = 96

Otros ejemplos de expresiones algebraicas son:

a) b) c) 4xy2+

5.2. USO DE PARÉNTESIS EN EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Se debe recordar que en una expresión numérica se efectúan primero las operaciones entre paréntesis, luego las multiplicaciones y/o divisiones, y finalmente las sumas y restas.

Así:

(2+4-3)(23+8) = (3)(31)=63

Las mismas reglas aplican a las expresiones algebraicas.

Ejemplos:

((a + 3b - 5a) + 4 a + (6b + 2d + 3b)) = ((3b- 4 a) + 4 a + (9b + 2d))= 3b + 9b + 2d = 12b + 2d

5.3. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

a) VARIABLES:

Es una letra o símbolo que representa cualquier elemento de un conjunto numérico, se acostumbra representar las variables con letras que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales. Por lo regular se utilizan las últimas letras del abecedario (x, y, z, etc.) para denotar variables.

b) CONSTANTES:

Son cantidades fijas expresadas con letra, casi siempre se utilizan las primeras letras del abecedario para denotar constantes (a,b,c).

Algunos ejemplos de constantes conocidas::

= 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751...

e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995...

c) COEFICIENTES:

Se asigna el nombre de Coeficientes a “los números que aparecen multiplicando a las variables” .

En un término, se dice que cualquier factor es coeficiente de los factores restantes. Por ejemplo, en el término 3x3y2, el 3 es coeficiente de x3y2, x3 es coeficiente de 3y2 y y2 es coeficiente de 3x3. “Los coeficientes que sean números (como el tres del ejemplo anterior) se dicen coeficientes numéricos, mientras que los coeficientes que sean letras se dicen coeficientes literales” .

d) EXPONENTES:

Son los superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones; es el número o expresión algebraica colocada a la derecha y arriba de otro que indica la cantidad de veces que ha de multiplicarse por sí mismo: en 892, el 2 es el exponente y la expresión significa 89*89.

Si n es un entero positivo, la notación exponencial an que se define en la siguiente tabla, representa el producto del número real “a” multiplicado “n” veces por sí mismo. La expresión an se lee “a” a la enésima potencia o simplemente “a a la n”. El entero positivo se llama exponente y el número real a se llama “base”.

Caso General Casos Especiales

an=a*a*a*...a

a1=a

a2= a*a

a5=a*a*a*a*a

Ejemplos:

1.- 54=5*5*5*5=625

2.-

es importante observar que si n es un entero positivo, entonces una expresión como 3an significa 3(an) pero no (3a)n. El número real 3 se llama coeficiente de an en la expresión 3an.

Ejemplo

-5*23=-5*8=-40

Ampliando la definición de an a exponentes no positivos: exponente cero y negativo.

Definición (a 0 )

Ejemplo

Si m y n son enteros positivos, entonces

En vista de que el número total de factores de a a la derecha es m+n, esta expresión es igual a am+n ; es decir,

De esta forma se puede llegar a las leyes de exponentes que muestran a continuación:

Ley Ejemplo

Las leyes de los exponentes pueden generalizarse:

x4x2x3= x4+2+3=x9

(3ij)4=34i4j4=91i4j4

Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa cambiarla a otra en que cada número real aparece solo una vez y todos los exponentes son positivos. Teniendo presente que los denominadores representan números reales diferentes de cero.

Simplificar:

1) (3x3y2)(4xy8)= 12x3+1y2+8=12x4y10

2)

El siguiente teorema es útil para la solución de problemas con exponentes negativos, siempre que

Ejemplo de simplificación de expresiones con exponentes negativos.

e) TÉRMINO ALGEBRAICO:

Es el producto y/o división de una o más variables (factor literal) y un coeficiente o factor numérico. Por ejemplo:

1) 3xy2 2) –ab 3) 4) 5

En el término algebraico “3xy2”; 3 es el factor numérico y xy2 es el coeficiente literal. En el término algebraico “–ab”;-1 es el factor numérico y ab es el coeficiente literal.

Se denomina grado de un término algebraico, a la suma de los exponentes de su factor literal, por ejemplo:

La expresión: 3xy2 tiene grado 1 + 2 = 3;

-0.03 a 5b2c3de4 tiene grado 5+2+3+1+4=15

Cuando una expresión algebraica tiene un sólo termino algebraico, recibe el nombre de Monomio, o sea que un monomio puede ser una constante o bien, una expresión algebraica en la cual las potencias de las variables son de exponentes enteros positivos y están relacionados únicamente por la multiplicación y además no contiene letras en el denominador .

Ejemplos de Monomios:

1) -6xy2z 2) 3) 4) 5

Ejemplo de expresiones

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