UCE Programacion II, Matrices, Sistemas de Ecuaciones, Resolución

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR[pic 1]

FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS, FÍSICAS Y MATEMÁTICA

CARRERA DE INGENIERIA CIVIL

PROGRAMACION II 

INFORME DE INVESTIGACIÓN

1. Resumen

Una matriz es todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Las matrices se utilizan tanto en la representación y manipulación de datos como, en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados, para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de la matemática. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Abstract

A matrix is all set of numbers or expressions arranged in rows and columns. The matrices are use in the representation and manipulation of data as in the numerical and symbolic calculation derived from the mathematical models used to solve problems in different disciplines, for example social sciences, engineering, economics, physics, statistics and the different branches of mathematics. They can be add, multiply and decompose in several ways that also makes a very important concept in the field of linear algebra.

1. Introducción

MATRICES

Definición: Se llama matriz de orden  a todo conjunto rectangular de elementos  dispuestos en  líneas horizontales (filas) y  verticales (columnas).[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

Abreviadamente suele expresarse en la forma , con; . Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila  y el segundo la columna .[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

Parte matemática de una matriz

[pic 11]

SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES

La suma de dos matrices ,  de la misma dimensión, es otra matriz  de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico .[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

La suma de las matrices  y  se denota por .[pic 16][pic 17][pic 18]

La diferencia de las matrices  y  se representa por , y se define como:
[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

Por lo tanto, para sumar o restar dos matrices, éstas han de tener la misma dimensión.

[pic 23]

Parte matemática de la suma de matrices

[pic 24]

[pic 25]

Parte matemática de la diferencia de matrices

[pic 26]

[pic 27]

Propiedades:

1. [pic 28]
2. [pic 29]
3. [pic 30]

[pic 31][pic 32]

MULTIPLICACIÓN

Dadas dos matrices  y , su producto es otra matriz  cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de  por las columnas de . De manera más formal, los elementos de  son de la forma:[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

[pic 39]

Es evidente que el número de columnas de  debe de coincidir con el número de filas de . Es más, si  tiene dimensión  y  dimensión , la matriz  será de orden . Es decir:[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

[pic 48]

Parte matemática de la multiplicación de matrices

[pic 49]

[pic 50] [pic 51]

[pic 52]

Propiedades:

1. [pic 53]
2. [pic 54]

[pic 55][pic 56]

[pic 57][pic 58]

MATRIZ TRANSPUESTA

Se llama matriz traspuesta de una matriz A de dimensión , a la matriz que se obtiene al cambiar en A las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por  y su dimensión es .[pic 59][pic 60][pic 61]

Parte matemática de la matriz transpuesta

[pic 62]

[pic 63]

Propiedades:

1. [pic 64]
2. [pic 65]
3. [pic 66]
4. [pic 67]

MATRIZ INVERSA

Existe un método alternativo para el cálculo de la matriz inversa al método de Gauss. Éste es mucho menos intuitivo, y puede ser mucho más largo pero de todas formas siempre puede recurrirse a él por ser más directo. Recordemos que dada una matriz A, su inversa  es tal que cumple lo siguiente:[pic 68]

[pic 69]

Donde I es la matriz identidad, con todos sus elementos nulos excepto los 1 en la diagonal principal. La matriz inversa puede calcularse como:

[pic 70]

Donde:

[pic 71]

[pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

        Consideraciones

1. Para que una matriz sea invertible, ésta debe de ser una matriz cuadrada (esto es: ).[pic 75]
2. Para que una matriz sea invertible, su determinante debe de ser distinto de 0 ().[pic 76]
3. Si la matriz a invertir contiene una fila o columna con 0, dicha matriz no tiene inversa.

[pic 77]

Propiedades:

1. [pic 78]
2. [pic 79]
3. [pic 80]
4. [pic 81]
5. [pic 82]

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Se define el determinante de una matriz cuadrada A, denotado por  o det(A), como el número real que ayuda a determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Este número se puede obtener de diferentes maneras.[pic 83]

Propiedades:

1. Si  donde , es decir una matriz cuadrada de orden n, entonces su determinante SÍ existe.[pic 84][pic 85]
2. Si  es una matriz cuadrada de orden 1, entonces .[pic 86][pic 87]
3. El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta.

[pic 88]

1. Si en una matriz se cambian entre sí dos líneas paralelas (filas o columnas), el signo de su determinante también cambiará.

[pic 89]

1. En una matriz que tiene dos líneas paralelas (filas o columnas) iguales, su determinante vale 0.

[pic 90]

1. Si en una matriz todos los elementos de una línea (fila o columna) son nulos, el determinante vale 0.

[pic 91]

1. Si en una matriz, los elementos de una línea (fila o columna) son combinación lineal de las otras, su determinante es 0.

[pic 92]

1. En una matriz triangular, su determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

[pic 93]

1. Si se multiplica un determinante por un número real, es lo mismo que multiplicar dicho número por cualquier línea de la matriz (fila o columna).

[pic 94]

1. Si todos los elementos de una línea de la matriz (fila o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes de las dos matrices obtenidas en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.

[pic 95]

1. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

[pic 96]

DETERMINANTE MÉTODO DE SARRUS

Únicamente se utiliza cuando tenemos una matriz de orden 2 o de orden 3. Consiste en sumar todos los productos que se obtienen al multiplicar dos o tres elementos de la matriz de manera que en cada producto exista un elemento de cada fila y uno de cada columna con sus signos correspondientes.

...