Una empresa que utiliza transistores y compra 1000 cajas

Problema 1

Un estudio realizado durante una epidemia que se propagó entre los animales del rodeo vacuno de nuestro país mostró que el número de animales afectados, t días después de iniciado el brote, respondió a una expresión del tipo:

N y A son constantes, A>1, donde N era el número total de animales del rodeo nacional. Se

Demostrara que la máxima velocidad de propagación de la enfermedad ocurrió cuando se infectó la mitad del rodeo. Se realizara un bosqueja la función n para t ≥0 , y la función velocidad de propagación V.

Siendo: n número de vacunos infectados, N número total de vacunos del rodeo nacional , A y K constantes , A>1 , k>0 se cumple:

a) La velocidad v de propagación de la enfermedad es: v =

Derivando:

Debemos probar ahora que esta función v tiene un máximo en el intervalo [0,∞].

Calculemos:

Anulando la expresión (3)

Hemos encontrado un punto crítico en

Debemos clasificarlo para lo cual estudiamos el signo de la función derivada.

Analizando la expresión (3) puedes deducir que:

El punto crítico es entonces un máximo.

Busquemos el número de animales afectados en ese instante, es decir

Hemos encontrado entonces que el momento de máxima velocidad de propagaciónde la enfermedad es aquél en que se infecta la mitad del rodeo.

Para bosquejar n (t) calculemos:

La derivada de la función es:

Su simple observación te permite concluir que es positiva para todo valor de t, por lo que la función n será creciente.

La segunda derivada de la función n es como ya hemos visto cuyo signo lo da lagráfica anterior.

El punto crítico hallado en la parte anterior es entonces punto de inflexión de la función n , siendo la concavidad de la función positiva en el intervalo.

Y negativa

Tenemos todos los elementos necesarios para graficar la función v en el intervalo [0,+∞]. En efecto disponemos del valor en t = 0, del límite para t tendiendo a +∞ , y de las expresiones de la primera derivada y segunda derivada así como de su estudio de signos.

Problema 2

Una empresa que utiliza transistores y compra 1000 cajas al año a un precio de 50 peso por caja. Los gastos de envío son de 40 pesos por pedido y los gastos de almacenamiento de 2 pesos por caja y por año.

Suponiendo que los transistores se utilizan a ritmo constante y que cada pedido llega justo cuando el anterior se ha agotado, el director de la empresa solicita que minimicen los costos y para esto se necesita saber cuántas cajas debe solicitar la empresa en cada pedido para que su costo anual sea mínimo? todos los pedidos tienen igual número de cajas). Cuántos pedidos debe efectuar al año, cuál es el costo total y por pedido.

Con este planteamiento la empresa podrá minimizar las pérdidas y tener más utilidades.

Pretendemos minimizar el costo total anual de inventario de la empresa que utiliza 1000 cajas de transistores, los cuales compra a la fábrica a razón de 50 pesos por caja. A su vez el costo de envío de la fábrica a la empresa es de 40 pesos por envío. La empresa que ha estimado en 2 pesos el costo anual de almacenamiento por caja se enfrenta con el problema de decidir cuántos pedidos debe realizar al año.

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