Unidad 2 Matrices y Determinantes..

Unidad 2 Matrices y Determinantes.

2.1 Definición de matriz, notación y orden.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de la ecuación diferencial y de las derivadas parciales. También tienen muchas aplicaciones en el campo de la física. Son el medio ideal para organizar y estructurar la información, especialmente la que puede reducirse a números.

Sea (K) el cuerpo de los números reales o números complejos y sean  números naturales. Una matriz  es una aplicación A= {} x {,  A  será un número real o complejo. Como el dominio de la matriz.                 A= [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Entonces la matriz A tiene  filas y  columnas. Denotaremos por  al conjunto de matrices de tamaño  con coeficientes. En caso de que , es decir tenemos al mismo número de filas que de columnas diremos que la matriz A es cuadrada.[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Ejemplo: [pic 13]

Al tener 3 filas y 3 columnas. Así que se escribe A= (). La fila ésima de la matriz A será denotada por  En cada fila la matriz A es una matriz de una fila y  columnas. A su vez la columna ésima de la matriz ,  se representa:    por lo tanto una matriz de  filas y una columna.[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

Ejemplo:  la columna seria . [pic 22][pic 23]

Sus elementos:

1. Matriz real, sus elementos son números reales: [pic 24]
2. Matriz compleja, sus elementos son números complejos [pic 25]
3. Matriz nula, sus elementos son todos nulos

[pic 26]

-Matriz cuadrada: matriz que verifica  en este caso se escribe  y se dice que es una matriz de orden n.   [pic 27][pic 28][pic 29]

-Matriz rectangular: matriz en la que .  [pic 30][pic 31]

Una matriz cuadrada que sólo tome valores no nulos en los elementos de la diagonal principal se dirá diagonal,

Por ejemplo: A= , [pic 32][pic 33]

Una matriz cuadrada  se denomina diagonal si todas sus entradas fuera de la diagonal son iguales a cero: [pic 34][pic 35][pic 36]

Las matrices diagonales, cumplen que sus elementos  Si solo se pide  se tendremos matrices triangulares (no son cuadrados) por ejemplo: [pic 37][pic 38]

  Son triangulares.[pic 39]

Ejemplo: (3, 5,-2) =Las entradas diagonales de una matriz diagonal pueden ser iguales o cero. [pic 40]

Por ejemplo, la matriz cuadrada nula 0 es una matriz diagonal. Es un error común pensar las entradas diagonales deben ser distintas de cero.

Traspuesta de una matriz: Consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota  [pic 41]

[pic 42]

Marices simétricas: Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta.

[pic 43]

2.2 Operaciones con matrices  

Suma con matrices

Dadas las matrices A, B  (K) N, se define la suma de ambas matrices como[pic 44][pic 45][pic 46]

A+B= = [pic 47][pic 48]

Ejemplo: A+B=   Si la matriz no tiene el mismo tamaño no es posible calcular.[pic 49]

Producto de matrices

Dadas las matrices A Є (K) y BЄ (K),Є N, se define el producto AB, para poder multiplicar dos matrices en número de columnas de la primera ha de coincidir con el número de filas de la segunda.[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]

[pic 54]

De lo contrario será imposible calcular el producto. La propiedad asociativa. Dada  (K),[pic 55]

(K), (K) se verifica que (AB)  C=A(B  C). Existe un elemento neutro, llamado identidad y que es la matriz diagonal que tiene 1 en cada elemento de la diagonal principal. Si la matriz  es cuadrada, entonces [pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]

Multiplicación de una matriz por un escalar

Se define la multiplicación de α por  como la matriz α∙. Por ejemplo:   [pic 65][pic 66][pic 67]

Propiedad distributiva del producto respecto de, entonces se verifica que α · (A + B) = α · A + α · B. Para probar esta igualdad consideramos. La propiedad distributiva del producto respecto de la suma de escalares. Sean α, β ∈ K y A ∈  (K), entonces se cumple que (α + β) · A = α · A + β · A. [pic 68][pic 69]

Para toda matriz A ∈ (K) se verifica que 1 · A = A. Para demostrarlo consideramos [pic 70]

1 · A = 1 · ( Estas propiedades junto con las propiedades de la suma de matrices hace que la terna (K) tenga estructura de espacio vectorial, como veremos con mayor detalle en el tema dedicado a los espacios vectoriales.[pic 71][pic 72]

Matriz traspuesta

Se define su matriz traspuesta de A como una matriz denotada (K) y que se construye intercambiando las filas por las columnas de A.          [pic 73][pic 74]

Sus propiedades de la matriz: Sean  (K) y  (K) entonces: [pic 75][pic 76]

a) (. [pic 77]

b) ([pic 78]

c)[pic 79]

d).[pic 80]

e) Si (K) es una matriz invertible, entonces [pic 81][pic 82]

La matriz traspuesta se utiliza para definir dos tipos especiales de matrices. Una matriz cuadrada A se dice simétrica si  y se dice antisimétrica si . Si una matriz A es simétrica se verifica que  por lo que  por lo tanto las matrices simétricas son:[pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87]

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