Unidad 2 Probabilidades
fleolopez26 de Mayo de 2014
14.800 Palabras (60 Páginas)523 Visitas
Unidad Dos
VARIABLES ALEATORIAS Y
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
57
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD
INTRODUCCIÓN A LA UNIDAD DOS
Con los principios de Probabilidad, las propiedades básicas y leyes, se definen las
variables aleatorias y se establece la diferencia entre variables aleatorias discretas
y continuas, en términos de su función de probabilidad, valor esperado, varianza y
desviación estándar y se desarrolla la desigualdad de Chébyshev que se aplica a
cualquier variable aleatoria discreta o continua.
Posteriormente se inicia el estudio de las distribuciones de probabilidad, es
pertinente comentar que en todo fenómeno, los datos obtenidos tienen un
comportamiento específico, es así como el análisis de las distribuciones de
probabilidad permite determinar que distribución de probabilidad es la pertinente
para un conjunto de datos.
Las distribuciones de probabilidad son de tipo discreto y continuo, según la
variable aleatoria que este en cuestión, luego en este aparte se estudiaran dichas
distribuciones, sus principios, la función que la identifica, sus propiedades y los
campos de aplicación de las mismas.
Bienvenidos a el mundo de las distribuciones de probabilidad, será un camino
muy interesante y ameno, por los ejemplos propuestos y las situaciones
analizadas.
58
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD
OBJETIVO GENERAL
Comprender e interiorizar los tipos de distribuciones de probabilidad que existen,
sus características, sus parámetros y los campos de aplicación que tienen dichas
distribuciones.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Definir variable aleatoria.
• Definir variable aleatoria discreta y continua.
• Definir función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
• Definir función de densidad de una variable aleatoria continua.
• Obtener probabilidades de eventos haciendo uso de la función de
probabilidad de una variable aleatoria discreta.
• Establecer las propiedades de la función de distribución de probabilidad
acumulada de una variable aleatoria discreta.
• Obtener y graficar la función de probabilidad acumulada de una variable
aleatoria discreta, dada su función de probabilidad.
• Obtener y graficar la función de distribución acumulada de una variable
aleatoria continua.
• Obtener probabilidades de eventos que involucren variables aleatorias
discretas o continuas, haciendo uso de su función de distribución
acumulada.
• Definir y obtener el valor esperado de una variable aleatoria, tanto discreta
como continua.
• Definir y obtener la varianza y la desviación estándar de una variable
aleatoria, tanto discreta como continua.
59
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD
• Aplicar adecuadamente el teorema de Chébyshev para cualquier variable
aleatoria discreta o continua.
• Describir las principales características y propiedades de las distribuciones
de probabilidad discreta y continua.
• Identificar y diferenciar las distribuciones de probabilidad discretas más
comunes, como son: distribución uniforme discreta, binomial, geométrica,
binomial negativa, hipergeométrica y Poisson.
• Calcular e interpretar parámetros estadísticos, tales como Media, varianza y
desviación estándar, de las diferentes distribuciones de probabilidad
discreta y continua.
• Reconocer cuándo un experimento aleatorio es un ensayo de Bernoulli.
• Identificar y diferenciar las distribuciones de probabilidad continuas más
comunes, como son: distribución uniforme continua, normal, exponencial.
• Estandarizar una variable aleatoria.
• Emplear la distribución normal para aproximar las probabilidades de una
variable aleatoria binomial y Poisson.
• Interpretar y utilizar correctamente las tablas existentes para cada una de
las distribuciones de probabilidad discretas y continuas.
60
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD
CAPITULO 4
VARIABLES ALEATORIAS
Lección 16: CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA
En el capítulo anterior se examinaron los conceptos básicos de probabilidad con
respecto a eventos que se encuentran en un espacio muestral, en este capítulo se
verá la importancia de cuantificar los resultados de un experimento aleatorio
sabiendo que ellos pueden ser cualitativos o cuantitativos.
En un experimento aleatorio lo que más interesa es conocer el número total de
veces que se obtiene un mismo resultado en un determinado número de
ejecuciones (es decir, cuantificar) y no en cuál ejecución se obtiene un
determinado resultado. Es por esto que en la teoría de la probabilidad, se hace
necesaria la cuantificación de los resultados cualitativos de un espacio muestral
para luego, mediante el empleo de medidas numéricas, estudiar su
comportamiento aleatorio.
Para facilitar estos cálculos se acude a una función que ubica el espacio muestral
en el conjunto de los números reales, la cual es conocida como variable aleatoria.
Una variable aleatoria es pues, una función que asigna un número real a cada
resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Ellas se denotan
con una letra mayúscula, tal como X.
Se dice que X es aleatoria porque involucra la probabilidad de los resultados del
espacio muestral, y se define X como una función porque transforma todos los
posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas reales.
Ejemplo 1.
Considere el lanzamiento de una moneda. El espacio muestral de este
experimento aleatorio está constituido por dos resultados: cara y sello.
Si se define X(cara)=0 y X(sello)=1, se transforman los dos posibles resultados del
espacio muestral en cantidades numéricas reales.
61
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD
De esta manera P(X=0) representa la probabilidad de que el resultado al lanzar la
moneda es cara.
EJEMPLO 1.2
Considere el lanzamiento de dos dados6. El espacio muestral de este experimento
aleatorio está constituido por 36 posibles resultados.
Se define como variable aleatoria X la suma de los valores de las dos caras de los
dados. La siguiente tabla relaciona los 36 resultados con los valores
correspondientes de la variable aleatoria X definida en este ejemplo.
Tabla 1.1.
Correspondencia entre los resultados del lanzamiento de un par de dados y la variable
aleatoria que representa la suma de las caras.
Resultado
Valor de la
variable
aleatoria
Número de
ocurrencias Probabilidad
(1,1) 2 1 1/36
(1,2) (2,1) 3 2 2/36
(1,3) (2,2) (3,1) 4 3 3/36
(1,4) (2,3) (3,2) (4,1) 5 4 4/36
(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) 6 5 5/36
(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) 7 6 6/36
(2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2) 8 5 5/36
(3,6) (4,5) (5,4) (6,3) 9 4 4/36
(4,6) (5,5) (6,4) 10 3 3/36
(5,6) (6.5) 11 2 2/36
(6,6) 12 1 1/36
Se pueden definir variables aleatorias cuyos valores sean contables o no, y al ser
una caracterización cuantitativa de los resultados de un espacio muestral, ellas
pueden ser discretas o continuas. En los dos temas siguientes se desarrollan los
conceptos de variable aleatoria discreta y variable aleatoria continua y sus
estadísticos asociados.
6 Tomado de Probabilidad y estadística. Aplicaciones y métodos, George C. Canavos. McGraw Hill.
México. 1988.
62
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100402 - PROBABILIDAD
Lección 17: VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que
puede tomar es finito (o infinito contable).
Frecuentemente el interés recae en la probabilidad de que una variable aleatoria
tome un valor particular, para ello se requiere primero definir claramente la
variable aleatoria. Será importante pues, acordar la siguiente simbología: {X = x}
denotará el evento formado por todos los resultados para los que X = x y
P(X = x) será la probabilidad de dicho evento.
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es una descripción
del conjunto de posibles valores de X, junto con la probabilidad asociada con cada
...