Proposiciones, Logica Matematica

Proposiciones

La proposición constituye el componente fundamental de la lógica.

Según señala ………… Una proposición es todo enunciado, del cual se puede decidir si su contenido es verdadero o falso, excluyendo la posibilidad que sea simultáneamente verdadero o falso.

Todo enunciado en forma exclamativa, deseo, orden o  pregunta no es proposición, ya que no se puede determinar si es verdadero o falso.

Los siguientes enunciados son ejemplos de proposiciones:

Hoy es lunes

Venezuela está en África

La temperatura ambiente en este momento es de 15°C

3 es un número par

Estos enunciados son proposiciones porque podemos afirmar que es verdadero o falso.

Los siguientes enunciados no son ejemplos de proposiciones:

Alicia es una mujer muy bella: (puede ser simultáneamente verdadero o falso ya que la belleza es subjetiva, para unas personas puedes ser bella pero para otras no)

¿Hoy es viernes? (es una pregunta por lo tanto no es proposición)

¡Llegaste !  (es una exclamación no es proposición)

Representación

Las proposiciones se representan en forma simbólica utilizando las ultimas letras del alfabeto: p, q, r , s, t ………, x, y, z , de esta forma se simplifica la escritura de los argumentos verbales, quedando bien definidos y sin presentar las imprecisiones que se pueden presentar con el lenguaje natural.

De esta forma se pueden representar en forma simbólica las siguientes proposiciones.

Sea p= Hoy es viernes

q= 8 es mayor que 3

r= Cristóbal Colón nació en Italia

En el lenguaje diario se pueden hacer enunciados como los siguientes.

No está haciendo sol

María estudia física y Luis estudia Matemática

Comes queso amarillo o comes queso blanco

Si apruebas tres evaluaciones entonces apruebas la asignatura

3 e un número primo si y solo si es divisible por 3 y por 1

Se puede ver que los términos resaltados (y,  O …..o ; si … entonces; no ; si y solo sí)  se encargan de unir los enunciados mostrados, relacionando uno con el otro.

Tabla 1

Los Conectivos lógicos y sus símbolos

[pic 1]

Partiendo de esta información se pueden escribir los enunciados anteriores de la siguiente manera:

[pic 2]

Clasificación según su forma

Existen dos clases de proposiciones.

• Proposiciones Atómicas o Simples: son proposiciones sin términos de enlace (conectivos).

• Proposiciones Compuestas o Moleculares: son las proposiciones que contienen términos de enlace (conectivos).

EJEMPLOS

1. Hoy es sábado (ATÓMICA)
2. El niño está llorando (ATOMICA)
3. El viento sopla muy fuerte (ATOMICA)
4. El amigo de Juan tiene razón (ATOMICA)
5. Este no es mi día feliz (MOLECULAR)
6. Si usted se da prisa entonces llegará a tiempo (MOLECULAR)
7. Si x + y = z entonces z > 0 (MOLECULAR)
8. María está aquí o Elena está en casa (MOLECULAR)
9. A la vez llueve y sale el sol (MOLECULAR)
10. O Jaime es puntual o Tom llega tarde (MOLECULAR)

Conectivos lógicos

Los términos de enlace de proposiciones o simplemente términos de enlace son aquellos que unen las proposiciones. Los términos de enlace, que se utilizaran son: “… y …” , “…o …” , “o...o...”, “si … entonces …” , “… si y solo si…”

Recuérdese que al añadir un término de enlace a una o dos proposiciones atómicas se forma una proposición molecular. El termino de enlace “no” actúa sobre una sola proposición. En adelante a los términos de enlace se le llamarán “CONECTIVOS LÓGICOS”.

Para representar los conectivos lógicos (términos de enlace) se utilizarán los símbolos que aparecen en la tabla siguiente:

Tabla N°2.

Representación de Conectivos lógicos

[pic 3]

La traducción de enunciados en lenguaje natural al lenguaje del cálculo proposicional, no tiene asignadas reglas especiales, sin embargo, en esta tabla se tiene una buena aproximación

Simbolización de las proposiciones

Ahora bien, como simbolizar proposiciones a partir de enunciados dados en lenguaje natural?

Sea el anunciado siguiente:

Ejemplo N°1: Ramón es su hermano, y o Rosa es su hermana o Daniel es su hermano

Primero debe escribirse la forma lógica de la proposición utilizando signos de agrupación, esta forma lógica depende de cómo se realice la lectura y permite determinar cuál es el conectivo principal o dominante, que es el que actúa sobre toda la proposición.

Se tiene entonces, (Ramón es su hermano), y ( o Rosa es su hermana o Daniel es su hermano).

Una vez realizado este paso se identifican las proposiciones y se les asigna una letra, generalmente minúscula.

p : Ramón es su hermano                          

q: Rosa es su hermana

r: Daniel es su hermano

Se identifican los conectivos: 

Y :  Conjunción  :  Ʌ

 O ….0   : Disyunción Exclusiva :  

Forma lógica: (  ) Ʌ  ( (  ) ˅ ( ) )

Forma Simbólica:    p Ʌ ( q ˅ r )

Ejemplo N°2: Caracas o es la capital de Venezuela o es la capital del Perú. No es la capital del Perú. Por lo tanto, es la capital de Venezuela.

Utilizando los signos de agrupación se tiene:

[( Caracas o es la capital de Venezuela o es la capital de Perú) .(No es la capital del Perú)]. Por lo tanto, ( es la capital de Venezuela).

Proposiciones:

p : Caracas es la capital de Venezuela

q: Caracas es la capital del Perú

Conectivos:

O ……0  :  Disyunción Exclusiva  :  

( . )    Conjunción :   Ʌ     ( signo de puntuación: punto )

No    : Negación : ~

Por lo tanto:  Condicional  →

Forma lógica:

[ ( p ˅ q )Ʌ ~q ] → p

Ejemplo N°3: La abeja es un ser admirable y utilísimo, pero no es dócil.

Usando signos de agrupación:

(la abeja es un ser admirable) (utilísimo), (no es dócil)

p: la abeja es un ser admirable

q: la abeja es un ser útil

r: la abeja es dócil.

Conectivos:

Conjunción : Ʌ

[ (p Ʌ q ) Ʌ ~r

Clasificación de las proposiciones según su valor de certeza

CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES DE ACUERDO A SU VALOR DE CERTEZA

Las formas proposicionales se clasifican de acuerdo a su valor de certeza en:

1. Tautología. Es una proposición lógica que es verdadera para cualquier valor de verdad de sus componentes.
2. Contradicción: Es la negación de una tautología, una proposición que es falsa para cualquier valor de verdad de sus componentes. Es una proposición contradictoria o absurda.
3. Contingencia: es una proposición lógica que será verdadera o falsa dependiendo de los valores de verdad de sus componentes.

Tablas de verdad de una proposición.

[pic 4]

La tabla de verdad de una forma proposicional es un esquea tabular en el cual se plantean todos los posibles valores de verdad de las proposiciones que la componen, en el cual se utilizan las definiciones de los conectivos lógicos hasta determinar el valor de verdad de la forma proposicional estudiada.

Al elaborar la tabla de verdad se debe tomar en cuenta los siguientes pasos:

1. El número de filas de la tabla viene dado por la expresión donde n e el número de proposiciones que tiene la forma proposicional.
2. El número de columnas depende del número de proposiciones y del número de operaciones lógicas ( conectivos) que tenga la foma proposicional (fp).
3. La distribución de los valores de las proposiciones se hará de la siguiente manera: tomándolas en orden alfabético ( los valores de verdad se denoan por 1 si es verdadero y por 0 si es falso.
4. Una vez que se determina el número de filas H de la tabla, se le asignan los valores de verdad para cada proposición de la tabla; la primera variable proposicional es verdadera para las primeras H/2 filas ( mitad superior) y falsa para las H/2 últimas filas (mitad inferior). La segunda variable proposicional es verdadera para las primeras H/4 filas y falsa para las H/4 filas siguientes y así sucesivamente hasta llegar a la últina variable que serán verdadera y falsa en forma alternada.
5. Se aplican las tablas de los conectivos lógicos para determinar el verdad del conectivo crrespondiente. Se recomienda comenzar por los paréntesis, despues los corchetes y luego las llaves. Si el signo de agrupación está precedido por una negación debe negarse de inmediato el conectivo correspondiente

Tablas de verdad de los conectivos lógicos.

1. NEGACION (~ )

Si la proposición es verdadera ( 1 ) su negación es Falsa ( 0 ) y viceversa

1. CONJUNCIÓN (Ʌ)

La Conjunción es verdadera (1) cuando ambas proposiciones son verdaderas, en los otros casos es falsa (0)

1. DISYUNCION INCLUSIVA (˅)

La disyunción inclusiva s verdadera (1) cuando al menos una de las proposiciones es verdadera (1)

1. DISYUNCION EXCLUSIVA ()

La disyunción Exclusiva es falsa ( 0 ) cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad

1. CONDICIONAL (→)

El condicional es falso (0) cuando el antecedente (p) es verdadero (1) y el consecuente (q) es falso (0)

1. BICONDICIONAL (↔)

El bicondicional es verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad

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