Teoria del consumidor

Teoría del consumidor

La forma en que los consumidores toman decisiones, en primera instancia, vamos a ver el ejemplo frente a dos bienes.

Recta presupuestal: Son los límites a las elecciones de consumo de un consumidor, es decir, son combinaciones que se pueden adquirir de dos bienes con un ingreso determinado.

I = Px* X + Py * Y

Entonces, I es el ingreso, Px es el precio del bien X y Py es el precio del bien Y

Y

I/Py  

                                 .

                   .

                                                       I/Px         X

Ejemplo, suponga que I = $100, y se gasta en dos bienes X y Y, el precio de X es $10, el precio de Y es $20, grafique la recta presupuestal, con al menos 5 combinaciones posibles.

I = Px* X + Py * Y

100 = 10*X + 20*Y

Y

   5

1                                            .

                                              8       10             X

100 – 20Y = 10X

100/10 – 20Y/10 = X

X = 10 – 2Y

X = 10 – 2*1

X = 10 – 2

X = 8

(8, 1)

X = 10 – 2*2

X = 10 – 4

X = 6

(6,2)

Ejemplo 2

Suponga que un consumidor tiene un ingreso de $1000 y lo piensa gastar en leche y huevos, el precio de la leche Pl = $50 y el precio de los huevos Ph = $100

Grafique la recta presupuestal con al menos 5 combinaciones

I = Pl * L + Ph * H

1000 = 50L + 100H

    L

20

                                 10                                                         H

I/Pl = 1000/50 = 20

I/Ph = 1000/100 = 10

1000 = 50L + 100H

1000 - 100H = 50L

1000/50 – 100H/50 = L

L = 20 – 2H

Si H = 5

L = 20 – 2*5

L = 20 – 10 = 10, otra posible combinación es ( L, H) = (10, 5)

Si H = 4

L = 20 – 2*4

L = 20 – 8 = 12, otra posible combinación es ( L, H) = (12, 4)

Suponga ahora que el Ingreso aumenta, mientras los precios se mantienen constantes

    L

20

                                                                    Si I aumenta -

                                                                     Si I disminuye -

                                 10                                                         H

Suponga ahora que el Ph aumenta, el ingreso permanece constante y el Pl también permanece constante, cual es la nueva recta presupuestal

    L

20

                                 10                                                         H

Cuando el ingreso cambio con los precios constantes la recta presupuestal se desplaza, pero cuando cambia un solo precio la recta presupuestal gira.

Suponga ahora que el PL disminuye, el ingreso permanece constante y el Ph también permanece constante, cual es la nueva recta presupuestal

1. Si en la recta presupuestal el precio del bien X aumenta, manteniendo constante el ingreso y el precio de Y, las cantidades consumidas de X

1. Disminuyen
2. Aumentan
3. Permanece constante
4. Todas las anteriores
5. Ninguna de las anteriores

Suponga los datos iniciales, ahora el precio de la leche disminuye a 40 y el precio de los huevos aumenta a 200, halle la nueva recta presupuestal.

1000 = 40L + 200H

1000 – 200H = 40L

1000/40 – 200H/40 = L

25 – 5H = L

25 – 5(2) = L

25 – 10 = L

15 = L

    L

25

20

                     5         10                                                         H

I/Pl = 1000/50 = 20

Para encontrar la combinación que mayor bienestar o utilidad tiene el consumidor, es necesario conocer las preferencias o gustos de este.

Función de tipo COBB – DOUGLASS

U(X,Y) = XαY(1-α)

α= Son las preferencias, están entre 0 y 1, por ejemplo, si α= 0,3

El proceso de maximización de la utilidad se realiza mediante el multiplicador de Lagrange

Para maximizar la utilidad, no basta con conocer las preferencia o gustos, esta función debe estar sujeta a la recta presupuestal, por tanto, necesitamos incluir en la función de utilidad la recta presupuestal, de tal manera que no afecte la función, es decir cuando esta restricción o recta presupuestal sea 0.

I = Px*X + Py*Y

Si restamos el lado derecho de la igualdad al lado izquierdo, esto es 0

I – Px*X – Py*Y = 0

El lagrangiano contiene la función de utilidad y la restricción, cuando esta última es 0 y se plantea  

L = XαY(1-α) s.a. I – Px*X – Py*Y

L = XαY(1-α) + λ( I – Px*X – Py*Y)

Esta es la función que vamos a maximizar

dLdX , dLdY

Y = X2

dYdX = 2*X2-1 = 2X1 = 2X

Y = Z*X2

dYdX = 2*Z*X2-1 = 2ZX

dYdZ = 1**Z1-1*X2 = Z0*X2 = X2

L = XαY(1-α) + λ( I – Px*X – Py*Y)

L = XαY(1-α) + λ I – λPx*X – λPy*Y

dLdX = α*X(α-1)Y(1-α) – λPx

0 = α*X(α-1)Y(1-α) – λPx

λPx = α*X(α-1)Y(1-α)

λ= α*X(α-1)Y(1-α)Px

dLdY = (1-α) XαY(1-α-1) – λPy

0 = (1-α) XαY(-α) – λPy

λPy = (1-α) XαY(-α)

λ= (1-α) XαY(-α)Py

α*X(α-1)Y(1-α)Px = (1-α) XαY(-α)Py

Y(1-α)Y(-α) = (1-α) XαPxPy*α*X(α-1)

Y1-α-(-α) =  (1-α) X(α-α-1) PxPy*α

Y1-α+ α = (1-α) X(α-α+1) PxPy*α

Y = (1-α) X PxPy*α

Ahora vamos a suponer que conocemos las preferencias del consumidor, este tiene una preferencia por el bien X de 0,4,  luego la preferencia por Y es 0,6 que es igual a 1 – α, es decir 1 – 0,4 es 0,6

Y = 0,6 X Px0,4Py

Ahora necesitamos conocer el precio de los bienes y el ingreso, suponga que el ingreso es $100 y el Px es $10 y el Py es $20

Y = 0,6 X 100,4*20

Y = 6 X8

Ahora vamos a buscar las cantidades de X y Y que maximizan la utilidad de este consumidor, luego tenemos que buscarla en la recta presupuestal, entonces reemplazamos a Y en función de X en la recta presupuestal y reemplazamos el ingreso y los precios de X y Y

I = Px *X + Py *Y

100 = 10X + 20Y

100 = 10X + 206 X8

100 = 10X + 120 X8

100 = 10X + 15X

100 = 25X

10025 = X

X = 4

Y = 6*48 =  248 = 3

Y = 3

Luego las cantidades de X y Y que maximizan la utilidad son 4 de X y 3 de Y

100 = 10(4) + 20(3)

100 = 40 + 60

100 = 100

Ejercicio 2

Un consumidor va a gastar todo su ingreso en carne y arroz, el precio de la carne es $200 y el precio del arroz es $150, el ingreso de este consumidor es $ 5000, la preferencia por la carne es 0,7, halle las cantidades de carne y arroz que maximizan la utilidad.

L = CαA(1-α) + λ(I – Pc*C – Pa *A)

L = C07A(1-0,7) + λ(5000 – 200C – 150A)

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