Enseñanza De Las Matematicas

Sobre la enseñanza de las matemáticas.

La Enseñanza activa de las matemáticas ha sido practicada en todos los tiempos. Se hace alusión a ella en los escritos de Platón y descartes. La enseñanza de las matemáticas aconseja separar y jerarquizar las dificultades, procediendo de la menor a la mayor.

”Conviene dirigir toda la fuerza del espíritu a las cosas más sencillas y fáciles de entender, y detenerse en ellas largo tiempo, hasta acostumbrarse a intuir la verdad con claridad y distinción.”

El diálogo llamado Menón contiene un ejemplo de enseñanza activa de la geometría; las preguntas formadas por Sócrates dirigen el razonamiento del discípulo (un esclavo) para hacerlo descubrir por sí mismo las conclusiones.

La enseñanza dinámica de las matemáticas.

¿Qué debemos entender por tal enseñanza dinámica?

Se trata, de una modalidad de la enseñanza activa que sigue un plan bien

definido, que trataré de esbozar aquí de la manera siguiente:

1. En primer lugar, el maestro debe asegurarse, mediante interrogatorio adecuado, de que sus alumnos traen los antecedentes básicos indispensables para el curso que se propone impartir, para mejorar y afirmar tales antecedentes.

2. El maestro debe anticipar a la clase en forma de enseñanza activa, la ideas directrices, el plan general, las grandes líneas del desarrollo histórico de la materia que se propone enseñar grandemente a las alumnos el estudio posterior, detallado, de cada una de las partes del curso; le dará la dinámica del conocimiento de la materia, y los más inteligentes podrán reconstruirla, en buena parte, con poca ayuda del maestro y del texto.

(El maestro competente ha de poseer la visión global, el sentido histórico, la dinámica, por decirlo así, de la materia que ha de enseñar; sólo así será capaz de establecer la importancia de cada tema dentro del cuadro general que los abarca todos.)

Cada rama de las matemáticas esta integrada alrededor de ciertos conceptos y principios fundamentales cuya génesis y desarrolla importa conocer. La experiencia histórica demuestra que los avances más importantes los han realizado quienes poseyeron, en un momento dado, el conocimiento dinámico de tales principios. Para citar sólo dos ejemplos, mencionaré a Lobatchesky y su invención de las geometrías no – euclidianas, a Lebesgue y su invención de la teoría de la integral; ambos poseyeron, en el sentido que hemos descrito, el conocimiento dinámico de los antecedentes de su invención, como se desprende claramente se la lectura de su obra.

Y para terminar, quiero decir a ustedes que la enseñanza dinámica de las matemáticas presenta lo más que podemos lograr hoy en día. Es la parte asequible de la heurística; por que al hablar de ella, estamos invocando una realidad tangible cuyos beneficios podemos comprobar en nuestra vida diaria experiencia de maestros.

El ideal educativo de las matemáticas.

En los últimos años se ha venido hablando de nuevos métodos de enseñanza, cuya importancia a veces se exagera. Se habla, por ejemplo de “máquinas de enseñar”, de nuevas técnicas audio visuales, etcétera, pero en la enseñanza de las matemáticas, si ha de ser eficaz, nada puede sustituir el trato directo del estudiante con el maestro competente.

En las matemáticas, como en cualquier otra actividad, lo más importante es la invención, cuyas fuentes principales son:

a) El espíritu de observación.

b) La intuición (arte de presentir o adivinar los que se busca, cuyo mecanismo desconocemos; arte de “ver con los ojos de la mente”, como diría Platón).

c) El raciocinio (hábitos mentales confirmados por la experiencia, especie del empirismo secundario cuya justificación puede hacerse por medio de la lógica).

Una computadora, diseñada para ello, puede hacer c), pero difícilmente hace a) y menos aún b).

El estudiante de matemáticas debe de poner en juego lo mejor de sus recursos mentales, su espíritu de observación, su imaginación, su inventiva, todo lo cual funciona mejor bajo la vigilancia de un maestro hábil y competente.

El espíritu de observación es indispensable en toda actividad científica; también la experimentación que consiste en ensayar de uno u otro modo hasta dar con la solución del problema propuesto.

El estudio de los clásicos nos ayuda a comprender el origen de muchos descubrimientos. Pero hay algo más importante: los clásicos nos enseñan como han nacido y evolucionando las grandes ideas de la matemática actual: el concepto de número y sus extensiones; el de función, con sus variadas formas y aplicaciones: las nociones del infinito y del continuo; con sus profundas implicaciones. Casi todo lo importante en las matemáticas, pertenece a los clásicos o tiene en ellos hondas raíces.

El rigor lógico de las matemáticas.

Me falta hacer algunas reflexiones acerca del rigor de las matemáticas, frecuentemente mal entendido.

Creen algunos que el rigor consiste en recitar “verdades” en tono grandilocuente. Suponen otros que un razonamiento es tanto más riguroso cuanto más cargado de símbolos se presenta; desdeñan la sencillez de las ideas y principios realmente importantes; por no convenir a su vana sabiduría. Finalmente, hay quienes piensan que el “rigor” es sinónimo de “abstracción y generalidad”.

Pues bien, en matemáticas hay diferentes grados de abstracción en ideas y principios, como hay diferentes grados de rigor en definiciones y demostraciones.

Así como la generalización de un concepto requiere de un concepto requiere pérdida de algunas de las propiedades que lo definen, la generalización de un principio se hace con algún sacrificio del rigor empleado en demostrarlo. Esto significa que la matemática más general y abstracta es menos rigurosa que la matemática elemental. Donde el grado de rigor es más alto. Dicho de otro modo: los métodos efectivos de la matemática elemental son más rigurosos que los métodos formales de la matemática superior.

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Conviene distinguir, en matemáticas, los procedimientos efectivos de los puramente formales. Es efectivo el método que nos lleva en un número finito de pasos a la solución del problema propuesto; también es efectiva la definición que contiene un criterio que nos permite decidir, en un número finito de pasos, si un objeto dado cumple o no con esa definición.

Casi todas las definiciones, demostraciones y demás procesos de la matemática elemental, son efectivos. Pero la natural tendencia a generalizar nos lleva inevitablemente a las definiciones y demostraciones formales de la matemática superior, que opera como sustitutos de los métodos efectivos, cuando estos dejan de ser posibles.

Es efectiva la definición pitagórica de los números naturales la única definición valida de tales números; también es efectiva la definición de la adición de los números naturales mediante la tabla de sumar; también son efectivas las demostraciones que derivan de esa definición… Todas las definiciones, reglas y procedimientos de la aritmética tradicional, que nos enseñaron en la escuela primaria, son efectivos.

Situación parecida encontramos en la geometría elemental de la enseñanza clásica. El trazado (con regla y compás) de las tangentes a una circunferencia, paralelas a una recta dada, es una demostración efectiva de su existencia; lo propio diríamos de la elipse, la parábola o cualquiera otra curva cuyas tangentes sabemos trazar.

Comparar el teorema Rolle (o de la media), que es una generalización de lo anterior: Mediante un discurso puramente formal se establece la existencia de las tangentes en las condiciones que exige el enunciado; pero no se da ningún criterio que permita determinar los puntos de contacto en todos los casos permitidos. En tal sentido la demostración del teorema de Rolle debe considerarse incompleta, porque no nos proporciona la información respecto de cada caso particular donde el teorema se aplica.

Las reflexiones anteriores, sin ser precisas ni exhaustivas, ponen de manifiesto la incertidumbre del rigor matemático cuando se trata de abstracciones y generalizaciones.

Hay diversidad de maneras de definir conceptos y demostrar proposiciones y los matemáticos no saben con certeza lo que significan palabras tales como “definir”, “demostrar”, etcétera.

No hay, por tanto, ninguna razón pedagógica – ni de otra índole – que nos induzca a reemplazar en la enseñanza de la matemática elemental los métodos efectivos tradicionales, que son los más rigurosos e intangibles, por los métodos efectivos tradicionales, que son los más rigurosos e intangibles, por los métodos formales de la matemática moderna, más general y abstracta que la tradicional.

Decálogo del buen maestro de matemáticas .

1. IMPARTIR LA CLASE CON EL SOLO PROPOSITO DE ENSEÑAR. Proceder con modestia y sinceridad, con verdadero espíritu de servicio, dejando a un lado vanidad y pedantería para poder ser eficiente. No tratar de “apantallar” a los alumnos haciéndose pasar por sabio.

2. SABER DESPERTAR EN SUS ALUMNOS INTERÉS POR LO QUE ENSEÑA.

La verdadera enseña es indagación dialogada, dirigida por el maestro y realizada por el discípulo, quien debe aprender a usar su propia iniciativa ante cada cuestión propuesta.

3. MEDIR CONTINUAMENTE LA EFICIENCIA DE SU ENSEÑANZA.

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