MATEMATICA Y SU ENSEÑANZA

En un cuadrado C de 8cm de lado se trazan dos segmentos paralelos a los lados de manera que quedan determinados dos cuadrados M y N.

Análisis algebraico

a) Si el lado del cuadrado N mide 3cm. ¿Cuál es el área sombreada?

b) ¿Y si el lado del cuadrado N mide 5,7cm?

c) ¿Habrá algún valor del lado del cuadrado N tal que el área de la región sombreada sea mayor que ?

d) ¿Habrá algún valor del lado del cuadrado N tal que el área de la región sombreada sea menor que ?

e) Represente gráficamente el área sombreada en función de la medida del lado del cuadrado N. justifique su respuesta.

Análisis didáctico

1- ¿Qué conocimientos deben tener disponibles los alumnos para iniciar la resolución de este problema?

2- Muestre un procedimiento correcto y uno incorrecto que puedan realizar los alumnos.

3- Indique posibles intervenciones docentes a propósito del procedimiento incorrecto descripto en el ítem 2.

4- ¿Qué debería quedar escrito en la carpeta de los alumnos respecto del trabajo que se haga con este problema?

5- ¿Por qué este problema puede dar lugar a un trabajo encuadrado en la perspectiva de enseñanza que sustenta en diseño curricular vigente?

Análisis algebraico

Destacamos que una figura de análisis resulta una ayuda importante para la búsqueda de la solución. Por lo tanto la estrategia de aproximación al problema consta de una primera instancia de exploración y representación.

a) El área sombreada será igual a la suma de las áreas de los cuadrados M y N. Los datos son los siguientes:

Sabemos que los lados de los cuadrados C y N miden 8cm y 3cm respectivamente. Para obtener la medida del lado del cuadrado M tendremos que hacer la operación . La fórmula para hallar el área de un cuadrado es

Luego el área de la región sombreada M+N es

b) El área sombreada será igual a la suma de las áreas de los cuadrados M y N. Los datos ahora son los siguientes:

El lado del cuadrado N mide 5,7cm por lo tanto el lado del cuadrado M medirá .

Luego si el lado del cuadrado N mide 5,7cm entonces el área de la región sombreada M+N es .

c) Representando y explorando mediante el gráfico de análisis podemos afirmar que el dominio de definición de la expresión que construyamos será el intervalo .

El planteo es el siguiente:

Obviaremos hasta la solución las unidades de medida para facilitar los cálculos.

Para hallar las raíces de la ecuación cuadrática aplicamos la famosa fórmula resolvente.

Luego expresamos en forma factorizada el polinomio de segundo grado y realizamos algunas operaciones para hallar los intervalos solución de la inecuación.

Tenemos un producto entre dos factores que debe ser positivo, entonces planteamos que el primer factor es positivo y el segundo positivo o el primer factor es negativo y el segundo también negativo.

Luego para una respuesta en términos del problema, podemos concluir que existen infinitos valores del lado del cuadrado N tal que el área de la región sombreada sea mayor que . Estos valores conforman el intervalo

d) En este ítem planteamos lo siguiente:

Obviaremos hasta la solución las unidades de medida para facilitar los cálculos.

Para hallar las raíces de la ecuación cuadrática aplicamos la fórmula resolvente y reemplazando los valores nos queda.

No existen raíces reales, por lo tanto la ecuación de segundo grado no tiene solución en el campo de los números reales.

Entonces para responder lo que plantea el problema decimos que no existe ningún valor del lado del cuadrado N tal que el área de la región sombreada sea menor que .

Otra forma de resolver el punto d):

Planteamos

Primero derivamos es decir hallamos y luego encontramos los valores de n tal que o para encontrar si existe el máximo o el mínimo de la función.

Ahora hacemos es decir especializamos la función en el valor y obtenemos

El valor mínimo relativo de la función es el punto ( es el vértice de la parábola cóncava hacia arriba). Analizando los datos obtenidos vemos que cuando n es igual a 4cm el área de la región sombreada es igual a y es área mínima. Luego no existe ningún valor del lado del cuadrado N tal que el área de la región sombreada M+N sea menor a o dicho de otra forma no puede haber una región M+N con menor superficie que .

Representación gráfica en el plano cartesiano de

Destacamos que este problema es apropiado para trabajar los conceptos de derivada, sus aplicaciones y el estudio de funciones en 6º año de la escuela secundaria.

e)

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