Los métodos numéricos

QDQWDQWDQWDINTRODUCCI?"N

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc…

Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para a solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala.

Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.

Por lo anterior en este trabajo colaborativo se investigara, se conocerá, y realizara ejercicios recordando la fórmula cuadrática y aplicando los conceptos básicos de Métodos Numéricos, como lo son el concepto de error (error relativo y Absoluto), los errores de redondeo y truncamiento. Al Igual que la búsqueda de raíces por medio de métodos iterativos, como lo realiza un computador, como lo son el

método de Bisección, Newton Raphson, Método iterativo y regla falsa.

OBJETIVOS

Estudiar y comprender muy bien los conceptos de cada capítulo de la unidad 1.

Resolver ejercicios aplicando los métodos implementados, validando sus resultados.

Que los profesionales seamos capaces de aplicar los conocimientos en el campo de acción laboral.

ACTIVIDAD No. 1

Primera Parte

La construcción de un mapa conceptual por capítulo de la Unidad Introducción a los Métodos Numéricos y Raíces de ecuaciones” con base a la lectura y análisis los estudiantes del curso realicen del contenido de la Unidad 1

Segunda Parte

Se resolverán una lista de 5 (CINCO) ejercicios enfocados a poner en práctica los procesos desarrollados en la Unidad. Los ejercicios son los siguientes:

1. Considere los siguientes valores de p y p* y calcule i) el error relativo y ii) el error absoluto:

a) p = 1/3 p* = 0.333

b) p = ? p* = 3.14

2. Determine las raíces reales de f(x)= -0,3x2 + 3,2x - 5,7

a) Usando la formula cuadrática

b) Usando el método de bisección hasta tres iteraciones para determinar la raíz más grande. Emplee como valores iníciales x=5 y x=10.

c) Debe concluir con que exactitud se encuentra el valor real del valor aproximado

3. Determine las raíces reales de f(x)= 2x3- 21x2+37x + 24 y use el algoritmo de bisección para encontrar una solución en el intervalo [7,9]. (Use tres iteraciones). Y concluya la exactitud del último resultado.

4. Determine la raíz real de f(x)= -0.2 + 6x - 4x + 0.5x3. Usando el método de Newton ??" Raphson(tres iteraciones usando x = 4.2).

5. Determine un cero aproximado de la función f(x) = (0.9 ??" 0.4x)/x usando el método de la regla falsa o falsa posición en el intervalo [1,3] (realice 4 o 5 iteraciones)

SOLUCI?"N

Considere los siguientes valores de p y p* y calcule i) el error relativo y ii) el error absoluto:

p= 1/3

p^*=0,333

Error relativo =|p-p^* |/|p|

Error absoluto =|p-p^* |

Er=|1/3-0.333|/|1/3| =1x ?10?^(-3)=0,001

Ea=|1/3-0,333|=3,333 x ?10?^(-4)=0,000333

p=?

p^*=3,14

Er=|?-3,14|/|?| =5,06957 x?10?^(-4)

Ea=|?-3,14|=1,596 x ?10?^(-3)

Determine las raíces reales de f(x)= -0,3x2 + 3,2x - 5,7

a) Usando la formula cuadrática

b) Usando el método de bisección hasta tres iteraciones para determinar la raíz más grande. Emplee como valores iníciales x=5 y x=10.

c) Debe concluir con que exactitud se encuentra el valor real del valor aproximado

Usando la formula cuadrática

x=(-3,2±?(?(3,2)?^2-4(-0,3)(-5,7)))/(2(-0,3))

=(-3,2±?3,4)/(-0,6) X 1=(-3,2+?3,4)/(-0,6)=2,2601

X2=(-3,2-?3,4)/(-0,6)=8,406514

Usando el método de bisección

N a b pn f(pn)

1 5 10 7,5 1,425

2 7,5 10 8,75 -0,66875

3 7,5 8,75 8,125 0,4953125

4 8,125 8,75 8,4375 -0,05742188

5 8,4375 8,75 8,59375 -0,35576172

valor real del valor aproximado

p^*=8,59375

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