Análisis de Fourier

Análisis de Fourier

Estudio de la distorsión introducida por el medio físico en la transmisión de una señal digital.

El análisis de Fourier es un concepto básico para entender algunos de los efectos que se producen en la transmisión de datos a través de un medio físico, como por ejemplo distintos tipos de cables. En esta práctica se pretende que el alumno entienda el cálculo de la descomposición de una señal digital mediante series de Fourier, y sea capaz de interpretar los efectos que ejerce el medio sobre esa misma señal. Para ello realizaremos el estudio de esta señal digital en el dominio de la frecuencia mediante el análisis de Fourier.

Durante la transmisión de información a través de un medio físico se producen una serie de fenómenos de atenuación, ruido, etc. Que distorsionan la misma. Algunos de estos fenómenos pueden ser estudiados perfectamente desde la observación de la evolución de la señal en el tiempo, sin embargo, otros efectos se estudian mejor desde el análisis de la señal en el domino de la frecuencia. Para poder realizar esta interpretación frecuencial de la señal transmitida vamos a utilizar una herramienta matemática que se denomina análisis de Fourier.

Introducción Teórica

A continuación se explican brevemente los fundamentos teóricos de la descomposición en series de Fourier. Para una mayor información, se remite al alumno a los apuntes de clase. El análisis de Fourier se basa en el hecho, demostrado por Fourier, de que toda señal periódica s(t)con periodo T(s(t)=s(t+T)) y frecuencia f=1/T, puede descomponerse en una suma infinita de senos y cosenos de la forma siguiente:

Donde:

En la fórmula (1), fes la inversa del periodo de la señal y la denominamos frecuencia fundamental de la señal s(t). Por otra parte, a0es una constante a la que llamaremos componente de continua de s(t), y que se calcula usando (2). El resto de términos de (1)lo forman los infinitos componentes del sumatorio, que se denominan armónicos o componentes armónicas de s(t). Estos armónicos son los que nos permiten el estudio en frecuencia de dicha señal periódica. De esta manera, el armónico n-ésimo de la señal s(t)viene determinado por

Con relación a (5), si nf=1, entonces ) 2 sen( ) 2 cos( t t π π + se corresponde con la suma de un seno y un coseno puro de periodo 1 (la multiplicación de la variable tpor π 2 se usa para cambiar el periodo de las sinusoidales de π 2 a 1). De esta forma, dentro de (5), los coeficientes nf definen la frecuencia de las sinusoidales. Por tanto, decimos que la frecuencia del armónico n-ésimo es fn =nf

Por último, la amplitud de cada sinusoidal de un armónico nviene marcada por los términos any bn. Estos coeficientes ponderan la contribución de la frecuencia de este armónico en la señal original s(t), y se calculan por medio de las expresiones (3)y (4). La potencia o amplitud de un armónico n se calcula como:

La representación gráfica en la que se representa la amplitud de cada armónico de la señal periódica situado en su frecuencia correspondiente se conoce como espectro de frecuencias de s(t). Más tarde veremos ejemplos de este tipo de representación.

Estudio de la influencia del medio físico en la transmisión de una señal

Al utilizar un cable para transmitir una señal, la propia señal que se transmite resulta inevitablemente atenuada. Sin embargo, un cable no atenúa a todos los armónicos de manera uniforme, sino que actúa como filtro paso bajo, de forma que los armónicos de

menor frecuencia pasan por él sin problema, pero los de frecuencia más alta resultan atenuados o totalmente filtrados. De manera teórica, vamos a considerar que un cable deja pasar todos los armónicos hasta una determinada frecuencia de corte fc, y que a partir de esa frecuencia el resto

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