ANÁLISIS DE FOURIER

ANÁLISIS DE FOURIER

Físicamente, la importancia del principio de superposición es que, cuando es válido, permite un movimiento ondulatorio complicado como una combinación de ondas sencillas. De hecho, como el matemático francés J. Fourier (1768-1830) pudo demostrar que, para construir la forma más general de una onda periódica solo necesitamos ondas armónicas simples. Fourier demostró que cualquier movimiento periódico de una partícula puede ser representado como una combinación de movimientos armónicos simples. Por ejemplo, si y(x) representa la forma de onda (en un tiempo en particular) de una fuete de ondas que tenga una longitud de onda λ, podemos realizar a y(x) como sigue:

y(x) = A0 + A1 sen kx + A2 sen 2kx + A3 sen 3kx+….+ B1 cos kx + B2 cos 2kx

+B3cos 3kx+…,

Donde k = 2π/λ. Esta expresión se conoce como Serie de Fourier. Los coeficientes A1 y B1 tienen valores definidos para cualquier movimiento periódico y(x) en particular. Por ejemplo, la llamada onda de diente de sierra de la Fig. 15 puede escribirse:

Si el movimiento no es periódico, como en el caso de una pulsación, la suma se sustituye por una integral: la Integral de Fourier. De aquí que cualquier movimiento (pulsado o continuo) de una fuente de ondas pueda ser representado en términos de una superposición de movimientos armónicos simples, y que cualquier forma de onda así generada pueda ser analizada como una combinación de componentes que son, por separado, ondas armónicas simples. Esto ilustra una vez más la importancia del movimiento armónico y de las ondas armónicas.

La forma de onda mantendrá su forma únicamente al viajar en un medio no dispersivo. En un medio dispersivo, las formas de onda de las ondas sinusoidales componentes no cambian, pero cada una de ellas puede viajar con una velocidad diferente. En este caso, la forma de la onda combinada cambia al alterarse la relación de fase entre las componentes. La onda puede también cambiar de forma si cede energía mecánica al medio, tal como la resistencia del aire, la viscosidad o la fricción interna. Tales fuerzas disipativas depende a menudo de la velocidad, y así las componentes de Fourier más fuertemente afectadas son aquellas con velocidades más elevadas de la partícula (es decir, aquellas con frecuencias altas). Aquí, una vez más, la forma de onda puede cambiar, al perder amplitud más rápidamente las componentes con frecuencias más altas. Un ejemplo de este fenómeno es el debilitamiento con el tiempo del sonido de las cuerdas del piano. El movimiento vibratorio de una cuerda de piano, inmediatamente después de haber sido percudida por el martillo, incluye una amplia gama de frecuencias. Las cuales le dan su tono característico. Las componentes de más alta frecuencia de este movimiento complejo disipan su energía más rápidamente que las componentes de frecuencia más baja, por lo que el carácter de duración de un tono puede cambiar con el tiempo.

SEPARACIÓN DE VARIABLES Y SERIE DE FOURIER

Muchos problemas de valor en la frontera que se encuentran en las matemáticas de ingeniería, se pueden resolver adecuadamente por el método denominada “separación de variables”. Se ilustrará la esencia del método por medio de ejemplos particulares.

PROBLEMA 1.

Considérese la siguiente ecuación que regula las vibraciones transversales pequeñas de un cordel elástico que se estira a una longitud l y luego se fijan sus extremos:

(1)

Donde es la deflexión de la cuerda, y , donde ρ es la masa de la cuerda por unidad de longitud, y T la tensión de la cuerda. La ecuación (1) se conoce como la ecuación de onda en una dimensión; las condiciones de frontera son:

u (0 , t) = 0 y u (l , t) = 0 para todo valor de t. (2)

Las condiciones iniciales son:

y (3)

Hallar la solución u (x , t) de la ecuación (1), que satisfaga las condiciones (2) y (3).

SOLUCIÓN:

Primero supóngase que la solución que la solución u (x , t) de la ecuación (1) será de la forma:

(4)

Que es producto de dos funciones, una de las cuales depende sólo de la variable x y la otra sólo de la variable t. Mediante diferenciación de (4), se obtiene:

y (5)

Donde las primas denotan diferenciación con respecto al argumento de cada factor. Sustituyendo (5) en la ecuación (1), se obtiene:

(6)

Dividiendo por X(x) T(t), y luego separando las variables una a cada lado de la ecuación, se obtiene:

(7)

Ahora bien, el primer miembro de la ecuación (7), es independiente de t, y por consiguiente el segundo miembro también lo es; el segundo miembro es independiente de x, y así mismo debe ser el primero. Por tanto, las expresiones del primero y del segundo miembro de la ecuación

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