Analisis De Fourier

INTRODUCCION

El análisis de Fourier debe su nombre a Jean Baptiste

Joseph Fourier (1768-1830), un matemático y físico francés.

Si bien muchas personas contribuyeron a su desarrollo,

Fourier es reconocido por sus descubrimientos matemáticos

y su visión en el uso práctico de las técnicas.

Su interés se centraba en la propagación de calor,

presentando en 1807 un trabajo en el Instituto Francés

sobre el uso de funciones senoidales para representar

distribuciones de temperatura.

El trabajo presentaba un resultado controvertido: que cualquier señal continua y periódica podía representarse como la suma una serie de ondas senoidales adecuadamente elegidas. Entre los revisores de su trabajo estaban dos de los matemáticos más reputados de su época y también de la Historia, Joseph Louis

Lagrange (1736-1813) y Pierre Simon de Laplace (1736-1827), que habían sido sus maestros en la Escuela Normal Superior de París.

La historia2 del análisis de Fourier tiene más de 200 años. Sus orígenes principian unos 60 años antes del momento en que Jean Baptiste Joseph Fourier presentó la primera versión de su trabajo sobre la teoría de la conducción del calor a la Academia de París (1807).

El año 1750 es un buen punto de partida: Fernando VI era rey de España, y Jorge II de Inglaterra; las colonias de América del norte estaban en medio de las guerras con los nativos y los franceses; unos años después Carlos III creaba el virreynato del Río de la Plata (1776). Voltaire, Rousseau y Kant estaban escribiendo sus libros en Europa; Bach acababa de morir, y Mozart estaba pronto a nacer; y el cálculo de Leibnitz y Newton, publicado 75 años antes, estaba permitiendo la creación de poderosas nuevas teorías sobre la mecánica celeste y la mecánica del continuo.

En ese momento los esfuerzos de los físicos y matemáticos se concentraban en dos problemas principales, que sentarían las bases de lo que posteriormente se conocería como análisis de Fourier:

• El problema de la cuerda vibrante o la propagación del sonido en un medio elástico;

• La determinación de las órbitas de los planetas a partir de mediciones.

El análisis de Fourier surgió a partir del intento de éste matemático francés por hallar la solución a un problema práctico, la conducción del calor en un anillo de hierro. Demostró que se puede obtener una función discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motivó severas objeciones de los matemáticos más importantes de su época como Lagrange, Laplace, etc.

A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejas representa una tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es periódica, se puede representar con una precisión arbitraria, mediante la superposición de un número suficientemente grande de ondas senoidales que forman una serie armónica.

Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir,

donde el periodo P=2p/w, y a0 a1 ...ai ... y b1 b2 .... bi .... son los denominados coeficientes de Fourier.

Conocida la función periódica f(t), calculamos los coeficientes ai y bi del siguiente modo

Las integrales tienen como límite inferior -P/2 y como límite superior P/2.

En el programa interactivo, transformamos la función periódica de periodo P, en otra función periódica de periodo 2p, mediante un simple cambio de escala en el eje t. Escribiendo x=w t, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo 2p de x, y la función f(t) convertida en

definida en el intervalo que va de -p a +p. La serie se expresa en la forma más simple

donde

Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.

• Si g(x) es una función par, g(x)=g(-x), los términos bi son nulos

• Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes ai son nulos

Por ejemplo, para el pulso rectangular simétrico de anchura 1, y periodo 2 se obtienen los siguientes coeficientes.

orden a b

0 1

1 0.6366 0

2 0 0

3 -0.2122 0

...