Calculo Diferencial

Índice

Índice……….……………………………………………………………2

Introducción……………………………………………………………..3

Marco Teórico (definiciones)…………………………………….…....4-11

Ejemplos de Temas:

Máximos y mínimos…………….………………………..12

Razones relacionadas o Tasas de cambio……………13-14

Diferenciales……………..………………………………...15

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Introducción

Con este trabajo de investigación se intenta abarcar algunos de los temas que provee el cálculo como lo son Máximos y mínimos, Tasas de cambio y diferenciales.

¿Qué es cálculo?

La palabra cálculo proviene del término latino calculus (“piedra”) y se refiere a la cuenta, la enumeración o la pesquisa que se lleva a cabo mediante un ejercicio matemático. El concepto también se utiliza como sinónimo de conjetura.

El uso más extendido del término se encuentra en el ámbito de la lógica o de la matemática, donde el cálculo consiste en un algoritmo (un conjunto de instrucciones preestablecidas) que permite anticipar el resultado que procederá de ciertos datos que se conocen con anticipación. El origen etimológico de la palabra tiene que ver con las rocas que se empleaban en la antigüedad para realizar este tipo de cálculos.

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Marco teórico

Definición de Máximos y Mínimos

En cálculo hay dos significaciones de la palabra "máximo", y se distinguen mediante los adjetivos absoluto y relativo.

Para máximo absoluto:

Sea f una función de valores reales definida en un conjunto S de números reales. Se dice que la función f tiene un máximo absoluto en el conjunto S si existe por lo menos un punto c en S tal que

f(x)≤f(c) para todo x en S

El número f(c) se llama máximo absoluto de f en S.

Y para máximo relativo:

Una función f, definida en un conjunto S, tiene un máximo relativo en un punto c de S si existe un cierto intervalo abierto I que contiene c tal que

f(x)≤f(x) para todo x situado en I∩S

Para mínimo absoluto se tiene:

Para una función con las mismas características que la definida en el máximo absoluto, se dice que f tiene un mínimo absoluto en S si existe un punto d en S tal que

f(x)≥f(d) para todo x en S

La definicón de mínimo relativo se formula igual que la de máximo relativo, pero cambiando la desigualdad.

La diferencia entre cada concepto es que un máximo relativo en c es un máximo absoluto en un cierto entorno de c, si bien no es necesariamente in máximo absoluto en todo el conjunto S. Naturalmente, cualquier máximo relativo es, en partícula, un máximo absoluto.

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Definición de Razones relacionadas o Tasas de cambio

Al definir la derivada de una función y = f(x) en un punto fijo x0, se mencionó que

Donde ∆y = f(x) − f(x0) = f(x0 + h) − f(x0) & ∆x = x − x0 = h son los incrementos de las variables y &x, respectivamente. Refriéndonos a estos incrementos podemos decir que:

• El incremento ∆y = f(x)

− f(x0) = f(x0 + h) − f(x0), nos muestra el cambio que ha tenido la

Variable y.

• El incremento ∆x = x − x0 = h, nos muestra el cambio que ha tenido la variable x.

De esto se desprende que el cociente. Es una razón de cambio que nos muestra el cambio que ha tenido la variable y, cuando la variable x

ha tenido un cambio ∆x.

Es decir es una razón que compara el cambio de la variable y, con respecto al cambio de la variable x .O sea que, es una razón que mide el cambio promedio de la variable y, a lo largo del intervalo limitado

Por x0 & x0 + ∆x.

• Esto es, es la razón de cambio promedio de la función y = f(x) con respecto a x, a lo largo del

Intervalo con extremos x0 & x0 + ∆x.

Ahora bien, al escribir nos estamos refriendo a la razón de cambio promedio de la variable y cuando se consideran cambios cada vez más pequeños en la variable x

.Podemos decir que con este límite se busca una razón de cambio instantánea de la variable y con respecto a la variable x.

Es decir, cuando hacemos que la longitud (| ∆x |) del intervalo limitado por tienda a cero, “la razón de cambio promedio de y ” se convierte en “la razón de cambio instantánea de y”, por supuesto, con respecto a x .Concretando y generalizando. Si se tiene que la variable w está en función de la variable u, entonces decimos que w = φ(u).

Si ∆u es un incremento en la variable u, entonces:

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