LA TEORÍA DE CONJUNTOS

LA TEORÍA DE CONJUNTOS

es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de aquélla. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

En teoría de conjuntos, la diferencia entre dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos aquellos en el primero de los conjuntos iniciales que no estén en el segundo. Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de los números naturales N y el conjunto de los números pares P es el conjunto de los números que no son pares, es decir, los impares I:

Como no hay ningún número par que no sea un número natural, la diferencia P menos N no tiene ningún elemento, por lo que es el conjunto vacío. La diferencia entre dos conjuntos A y B se denota por A \ B ó A − B, por lo que: N \ P = I, y también P − N = ∅.

Definición

Diferencia entre los conjuntos A y B, y viceversa.

Dados dos conjuntos A y B, su diferencia es el conjunto que contiene todos los elementos de A que no están en B:

La diferencia de A menos B (o entre A y B) es otro conjunto A \ B (o también A − B) cuyos elementos son todos aquellos elementos de A que no lo sean de B:

La diferencia entre A y B también se denomina complemento relativo de B en A, y se denota ∁AB, cuando el segundo es un subconjunto del primero. Este nombre proviene de la relación entre las operaciones de diferencia y complemento (ver más abajo). La norma ISO da preferencia a la notación con barra invertida.

Ejemplo.

Sean A = {♠, 5, z, R, 0} y B = {0, p, 9, z, Δ}. Sus diferencias son A \ B = {♠, 5, R} y B \ A = {p, 9, Δ}

Sean los conjuntos de números naturales P = {n: n es par} y P = {n: n es primo}. La diferencia P \ P es entonces {n: n es par y no es primo} = {n: n es par y compuesto} = {4, 8, 6, ...}. Por otro lado, P \ P = {n: n es primo y no es par} = {n: n es primo e impar} = {3, 5, 7, 11, ...}.

En la introducción se mostró que la diferencia P \ N es el conjunto vacío. Además, P \ I es igual a P: ningún número par es a la vez un número impar.

Propiedades

De la definición de la diferencia de conjuntos, puede deducirse inmediatamente:

• Elemento neutro. La diferencia entre un conjunto y el conjunto vacío es el propio conjunto:

• La diferencia de un conjunto menos él mismo es el conjunto vacío:

Estas igualdades son un caso particular de la siguiente propiedad:

• La diferencia entre dos conjuntos es el conjunto vacío si y sólo si el primero es un subconjunto del segundo:

La diferencia entre dos conjuntos es igual al primer conjunto si y sólo si ambos conjuntos son disjuntos:

La intersección de dos conjuntos es la parte que tienen en común, mientras que la diferencia es la parte que no comparten. Esto se traduce en la siguiente propiedad:

Dados dos conjuntos, su intersección y su diferencia son disjuntos entre sí, y su unión es el primero de los conjuntos iniciales:

Esto quiere decir que la intersección y la diferencia entre A y B son una (posible) partición de A.

La diferencia de conjuntos está muy relacionada con el complemento de un conjunto:

El complemento de un conjunto es la diferencia entre el conjunto universal y él mismo:

Es por esto que la diferencia de dos conjuntos, A menos B, se denomina también el complemento relativo de B respecto de A: A \ B es el complemento absoluto de B, considerando a Acomo el conjunto universal . Las leyes de De Morgan y otras propiedades del complemento de un conjunto tienen entonces su contrapartida en la diferencia de conjuntos, si se tiene en cuenta que

Si se considera un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos es la intersección del primero con el complemento del segundo:

DEFINICION DE COMPLEMENTOS DE CONJUNTOS

El conjunto complementario de un conjunto dado es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos C, que está formado por los números compuestos y el 1:

P = {2, 3, 5, 7, ...}

C = {1, 4, 6, 8,

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