Algebra Lineal Unidad 2
Enviado por luiSulvaran • 20 de Noviembre de 2014 • 2.909 Palabras (12 Páginas) • 687 Visitas
2.1 Definición de Matriz, Notación y Orden.
Cuando los sistemas de ecuaciones lineales son extensos, mayormente se utiliza matrices por su facilidad de manejo. Las matrices son ordenamientos de datos y se usan no solo en la resolución de sistemas de ecuaciones (lineales), sino además en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales y de derivadas parciales. Además las matrices también aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.
El álgebra matricial puede ser aplicada a sistema de ecuaciones lineales. Sin embargo, puesto que muchas relaciones económicas pueden ser aproximadas mediante ecuaciones lineales y otras pueden ser convertidas a relaciones lineales, esta limitación puede ser en parte evitada.
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n.
Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b,...
Ejemplo:
Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus
Clases de matrices.
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.
Ejemplo: Sean las matrices
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matriz identidad
Sea A = (ai j) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22,..., ann. La traza de A, escrito trA, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A• I = I •A = A.
Matrices triangulares
Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices
Son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
Matrices diagonales
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22,..., dnn). Por ejemplo,
Son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag (3,-1,7) diag (4,-3) y diag (2,6,0,-1).
Traspuesta de una matriz
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.
Así, la traspuesta de
En otras palabras, si A = (ai j) es una matriz m ð n, entonces AT =
es la matriz n ð m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:
1. (A + B) T = AT + BT.
2. (AT) T = A.
3. (kA) T = kAT (si k es un escalar).
4. (AB) T = BTAT.
Matrices simétricas
Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A.
Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:
Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.
Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.
A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.
Matrices ortogonales
Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.
Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria:
Si A es ortogonal, entonces:
Matrices normales
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.
Ejemplo:
Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal.
2.2 Operaciones con Matrices
Suma y resta de matrices
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ð 2 y otra de 3 ð 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.
Ejemplo:
Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices,
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