Como se da la Aplicación de las ecuaciones diferenciales de orden superior utilizando el Principio de Arquímedes
Enviado por JITI • 5 de Abril de 2018 • Tareas • 2.893 Palabras (12 Páginas) • 572 Visitas
APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR UTILIZANDO EL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Universidad Pontificia Bolivariana, Cq. 1 #70-01, of. 11-259, Medellín, Colombia,
Recibido 2 mayo 2017; aceptado 2 mayo 2017
Resumen: En este artículo se muestra la aplicación de las ecuaciones diferenciales en la solución de un problema particular relacionado con la física mecánica y de fluidos utilizando también el principio de Arquímedes en su sustento, demostrando que las mismas sirven para modelar problemas en la ciencia e ingeniería con el fin de comprender fenómenos físicos y solucionar incógnitas determinadas. Copyright © 2017 UPB.
Abstract: In this article there appears the application of the differential equations in the solution of a particular problem related to the mechanical physics and of fluids using also Arquimedes's principle in his sustenance, demonstrating that the same ones serve to shape problems in the science and engineering in order to understand physical phenomena and to solve certain mysteries.
Keywords: Force, flotation, weight, acceleration, fluid.
- INTRODUCCIÓN
Este trabajo tiene como finalidad el análisis y la solución de un problema planteado para resolverse mediante ecuaciones diferenciales de orden superior, basándose en conceptos físicos y principalmente en el principio de Arquímedes, por lo tanto, se utilizarán conocimientos del curso de ecuaciones diferenciales y física mecánica con el fin de dar solución al problema.
Los antecedentes a tener en cuenta son los planteamientos de Isaac Newton y Arquímedes de Siracusa los cuales son fundamento para la física e ingeniería y serán utilizados en la deducción del modelo matemático perteneciente a la física mecánica específicamente al movimiento armónico simple y la mecánica de fluidos por características del mismo.
En primer lugar, se definirá el problema, el contexto de la ecuación y su utilidad. Posteriormente se demostrará la obtención de la ecuación diferencial que describe el problema a resolver y se solucionará analíticamente de acuerdo al método de solución planteado y justificado para la ecuación. Finalmente se presentará el análisis obtenido del planteamiento del problema con condiciones iniciales arbitrarias y las conclusiones pertinentes.
- DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
El problema a resolver es:
Una caja cubica de de lado flota en agua. La caja sube y baja con un periodo de Si la densidad es Hallar el peso de la caja. [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]
(Carmona, 1998).
3. MARCO TEÓRICO
3.1 Contexto de la ecuación y su utilidad.
La ecuación diferencial sirve para modelar sistemas en movimiento que se encuentren en un medio líquido. Esto se evidenciará en la realización de la simulación, la cual se plasmará en la sección 4.
De la primera ley de Newton se tiene que, si sobre un cuerpo no actúan fuerzas o actúan varias fuerzas cuya resultante es cero, se concluye que el cuerpo está en equilibrio. Un cuerpo está en equilibrio cuando se encuentra en reposo o se desplaza a velocidad constante como el caso del problema a solucionar y matemáticamente se expresa como:
[pic 5]
donde es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo.[pic 6]
Además, de la segunda Ley de Newton tenemos que: La tasa de variación del momentum de un cuerpo en función del tiempo es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo teniendo la misma dirección de la fuerza (entendiéndose por momentum de un objeto al producto de su masa m multiplicado por su velocidad v).
De esta ley se deduce que la tasa de variación del momentum en el tiempo tomando la masa constante es donde y representan masa y derivada de la velocidad con respecto al tiempo.[pic 7][pic 8][pic 9]
Debido a que se utilizará un diagrama de cuerpo libre para determinar las fuerzas que intervienen en el problema y deducir el modelo a solucionar tenemos que aplicar dicha ley cuando actúa una fuerza neta (F) sobre un objeto. Aplicando lo
anterior se tiene que su magnitud es .[pic 10]
De física mecánica y para adecuar esto a la simbología del cálculo y por lo anterior, la aceleración es una tasa de cambio (derivada)
donde es aceleración.[pic 11][pic 12]
Por lo tanto:
[pic 13]
donde , y son fuerza neta, masa y aceleración respectivamente. [pic 14][pic 15][pic 16]
La velocidad puede expresarse como la primera derivada de la velocidad con respecto al tiempo y la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo
[pic 17]
donde es la segunda derivada del desplazamiento (s) con respecto al tiempo.[pic 18]
También de esta ley se tiene que: la fuerza que hace que un cuerpo se acelere hacia abajo es la atracción gravitacional de la tierra, es decir el peso del cuerpo. En términos generales un cuerpo de masa m debe tener un peso de magnitud w dado por
[pic 19]
donde , y son peso (fuerza), masa y la aceleración de la gravedad.[pic 20][pic 21][pic 22]
(Zemansky & Freedman, 2005)
(Universidad de Salamanca , s.f.)
Sabemos que interviene una fuerza de flotación por que el objeto está suspendido en el agua entonces se debe describir matemáticamente para su posterior utilización.
La fuerza de flotación es la fuerza que un fluido ejerce en dirección hacia arriba sobre un objeto sumergido dentro de él, debido a análisis de un cuerpo en el agua con relaciones entre variables de presión, fuerza, presión manométrica, altura y área se obtiene la siguiente ecuación
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