Distribución De Probabilidad Discreta Y Continua

TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS

Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas:

DISCRETA: La variable aleatoria X se dice que es discreta si los números asignados a los sucesos elementales de E son puntos aislados. Sus posibles valores constituyen un conjunto finito o infinito numerable. Por ejemplo, supongamos el experimento consistente en lanzar tres veces una moneda no trucada; si consideramos la variable aleatoria X=”número de caras obtenidas en los tres lanzamientos”, los valores que puede tomar esta variable aleatoria son finitos (0,1,2,3).

CONTINUA: La variable aleatoria X será continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera, dentro de ciertos intervalos, es decir, puede tomar cualquier valor de R. Por ejemplo, si consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el nivel de agua en un embalse y tomamos la variable aleatoria X=”nivel de agua”, esta puede tomar valores entre 0 y más infinito.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Es un modelo teórico que describe la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio, es decir, nos da todas las probabilidades de todos los posibles resultados que podrían obtenerse cuando se realiza un experimento aleatorio. Se clasifican como discretas o continuas. En la distribución de probabilidad discreta está permitido tomar sólo un número limitado de valores. En la continua, llamada función de densidad, la variable que se está considerando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA

Sea un espacio probabilístico y sea X una variable aleatoria discreta que toma como posibles valores x1,x2,.....xn, se define la distribución de probabilidad de X como el conjunto de pares (xi, pi) que a cada valor de la variable le asocia una probabilidad, donde pi= P(X=xi), tal que la suma de todas las probabilidades es igual a la unidad.

Del ejemplo realizado anteriormente se desprende que la distribución de probabilidad viene dada por:

(0,1/8); (1,3/8); (2,3/8); (3,1/8).

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA

Si la variable aleatoria es continua, hay infinitos valores posibles de la variable y entra cada dos de ellos se podrían definir infinitos valores. En estas condiciones no es posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable como se puede hacer en el caso de las variables discretas. Pero sí es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución) y cómo cambia esa probabilidad acumulada en cada punto (densidad de probabilidad). Por tanto, cuando la variable aleatoria sea continua hablaremos de función de densidad.

Sea X una variable aleatoria continua, se llama función de densidad y se representa como f(x) a una función no negativa definida sobre la recta real, tal que para cualquier intervalo que estudiemos se verifica:

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

La función de distribución describe el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio y se representa como:

F(x) ó Fx

Para estudiar la función de distribución distinguiremos entre el caso discreto y el caso continuo.

o CASO DISCRETO

Sea X una variable aleatoria discreta asociada a un espacio probabilístico, se define la función de distribución:

Ejemplo: Continuando con el ejemplo anterior, cuya distribución de probabilidad era:

(0 caras, 1/8); (1 cara, 3/8); (2 caras, 3/8); (3caras, 1/8), Calcula la probabilidad de obtener menos dos caras?.

Para resolver el problema lo que debemos de calcular es la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores inferiores a dos. Esto viene dado por la expresión

F (1) = Prob [ X ≤ 1] = Σ Pi 1= Prob [ X =0] + Prob [ X = 1] = 1/8 + 3/8= 4/8

xi<x

La función de distribución para una variable discreta siempre verifica las siguientes propiedades:

o CASO CONTINUO:

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x), se define la función de distribución, F(x), como:

Ejemplo: Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad viene dada por f (X), calcula su función de distribución:

PARÁMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA

En esta sección estudiaremos, de manera análoga a las variables estadísticas, algunos parámetros de que van a resumir numéricamente las distribuciones de las variables aleatorias, distinguiendo como siempre, para el caso discreto y continuo.

Esperanza matemática para una variable aleatoria discreta

Dada una variable aleatoria X que toma valores x1,x2,x3....xn con distribución de probabilidad , se define la esperanza matemática de una variable aleatoria como:

6.2.- Esperanza matemática para una variable aleatoria continua

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x), se define la esperanza matemática de esa variable aleatoria como:

6.3.- Varianza de una variable aleatoria

A continuación vamos a definir la varianza de una variable aleatoria diferenciando para el caso discreto y continuo. Dada una variable aleatoria X que toma valores x1,x2,x3....xn con distribución de probabilidad, se define la varianza de X:

Propiedades de la Varianza y la Esperanza matemática:

Sea X una variable aleatoria e Y otra variable aleatoria tal que Y = a X + b, entonces siempre se verifica:

6.5.- Momentos de una variable aleatoria

Dada una v.a X, se define su momento de orden k (k = 0, 1, 2,...) respecto a la media o momento central de orden k como la esperanza de (X − μ)k :

Del mismo modo se define su momento de orden k (k = 0, 1, 2, ...) respecto al origen o momento no central de orden k como la esperanza de Xk :

De las definiciones se deduce que:

o αo = 1

o α1 = μ

o μo = 1

o μ1 = 0

o El segundo momento central se llama también varianza, y se denota por V(X) o σ2.

Variable discreta:

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (x).

Porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Por ejemplo:

X Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3…ó los 40).

PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (X)

p(xi)<1 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero y menores o iguales a 1.

E p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde hasta el valor .

Las distribuciones de variable discreta más importantes son las siguientes:

• Distribución binomial

• Distribución binomial negativa

• Distribución Poisson

• Distribución geométrica

• Distribución hipergeométrica

• Distribución de Bernoulli

• Distribución Rademacher, que toma el valor 1 con probabilidad ½ y el valor -1 con probabilidad ½.

• Distribución uniforme discreta, donde todos los elementos de un conjunto finito son equiprobables.

Distribución uniforme

La distribución uniforme es la que corresponde a una variable que toma todos sus valores, x1, x2... , xk, con igual probabilidad; el espacio muestral debe ser finito.

Si la variable tiene k posibles valores, su función de probabilidad sería:

donde k es el parámetro de la distribución (un parámetro es un valor que sirve para determinar la función de probabilidad o densidad de una variable aleatoria)

La media y la varianza de la variable uniforme se calculan por las expresiones:

El histograma de la función toma el aspecto de un rectángulo, por ello, a la distribución uniforme se le suele llamar distribución rectangular.

Distribución binomial

La distribución binomial es típica de las variables que proceden de un experimento que cumple las siguientes condiciones:

1) El experimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo n un número natural fijo.

2) Cada prueba resulta en un suceso que cumple las propiedades de la variable binómica o de Bernouilli, es decir, sólo existen dos posibles resultados,

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