Diseño de la planeación didáctica para la atención a escuelas con grupos multigrado

 Diseño de la planeación didáctica para la atención a escuelas con grupos multigrado

Actividad 5.5

Analice los siguientes gráficos y responda de manera escrita las siguientes preguntas.

 [pic 1]   [pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]    [pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 9]    [pic 10][pic 11][pic 12]

• ¿Qué gráfico o gráficos consideran los elementos básicos para la elaboración de la planeación por tema común?  

• ¿Qué sería necesario no perder de vista durante el proceso de planeación por tema común?

• ¿Es preciso que los docentes registren su planeación didáctica por tema común en el mismo formato?  Argumente

• ¿Consideras que se debe incluir la evaluación? ¿Por qué?

GRECIA GÁLVEZ, DIEGO COSMELLI, LINO CUBILLOS, PAUL LEGER, ARTURO MENA, ÉRIC TANTER, XIMENA FLORES, GINA LUCI, SOLEDAD MONTOYA, JORGE SOTO-ANDRADE ESTRATEGIAS COGNITIVAS PARA EL CÁLCULO MENTAL COGNITIVE STRATEGIES FOR MENTAL CALCULATION RESUMEN. Abordamos el estudio de la variedad de estrategias cognitivas, idiosincrásicas o aprendidas, empleadas por alumnos del primer ciclo de la enseñanza básica chilena al practicar actividades de cálculo mental. Presentamos un diagnóstico del desempeño en tareas de cálculo mental aditivo (sumas y restas) de una muestra de alumnos de escuelas subvencionadas por el Estado, en estratos socio-económicos medios y medio-bajos en las ciudades de Santiago y Valparaíso, junto con un catastro de las estrategias observadas, así como una primera versión de un programa desarrollado por nosotros disponible en internet, que permite evaluar el desempeño de los alumnos, incluyendo sus tiempos de respuesta. Analizamos además la correlación entre el desempeño en las tareas propuestas (porcentaje de aciertos y tiempos de respuesta) y el rendimiento escolar promedio en matemáticas. PALABRAS CLAVE: Cálculo mental, estrategias cognitivas, modos cognitivos, metáforas, tiempos de respuesta. ABSTRACT. We focus on the study of the variety of cognitive strategies, either idiosyncratic or learned, used by students in the first cycle of elementary education in Chile to practice activities of mental calculation. We present an analysis of performance in additive mental calculation tasks (addition and subtraction) of a sample of students from state-subsidized schools in middle and low-middle socioeconomic strata in the cities of Santiago and Valparaiso. We construct a catalogue of the strategies detected and a first version of a software developed by us and available in the internet, which enables us to assess the student’s performance, including their response times. We also analyze the correlation between the performance in the proposed tasks (percentage of correct answers and response times) and the average school achievement in mathematics. KEY WORDS: Mental calculation, cognitive strategies, cognitive modes, metaphors, response times. RESUMO. Focalizamos no estudo da variedade de estratégias cognitivas, idiossincráticas ou aprendidas, utilizadas pelos alunos no primeiro ciclo do ensino básico no Chile para a pratica de atividades de cálculo mental. Nós apresentamos uma análise do desempenho em tarefas de cálculo mental aditivo (adição e subtração) de uma amostra de estudantes em escolas de nível Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa (2011) 14 (1): 9-40. Recepción: Febrero 10, 2010 / Aceptación: Enero 20, 2011 � available in the internet, which enables us to assess the student’s performance, including their response times. We also analyze the correlation between the performance in the proposed tasks (percentage of correct answers and response times) and the average school achievement in mathematics. KEY WORDS: Mental calculation, cognitive strategies, cognitive modes, metaphors, response ������ rendimiento escolar promedio en matemáticas. ������ PALABRAS CLAVE: Cálculo mental, estrategias cognitivas, modos cognitivos, metáforas, ������ We focus on the study of the variety of cognitive strategies, either idiosyncratic or ���� learned, used by students in the first cycle of elementary education in Chile to practice activities of mental calculation. We present an analysis of performance in additive mental calculation tasks (addition and subtraction) of a sample of students from state-subsidized schools in middle and low-middle socioeconomic strata in the cities of Santiago and Valparaiso. We construct a �� catalogue of the strategies detected and a first version of a software developed by us and available in the internet, which enables us to assess the student’s performance, including their ������ response times. We also analyze the correlation between the performance in the proposed tasks ������ (percentage of correct answers and response times) and the average school achievement in � available in the internet, which enables us to assess the student’s performance, including their ������ ������� response times. We also analyze the correlation between the performance in the proposed tasks ������ � (percentage of correct answers and response times) and the average school achievement in ������ � � Valparaíso, junto con un catastro de las estrategias observadas, así como una primera versión de un programa desarrollado por nosotros disponible en internet, que permite evaluar el desempeño de los alumnos, incluyendo sus tiempos de respuesta. Analizamos además la correlación entre el desempeño en las tareas propuestas (porcentaje de aciertos y tiempos de respuesta) y el PALABRAS CLAVE: Cálculo mental, estrategias cognitivas, modos cognitivos, metáforas, ���� RESUMEN. Abordamos el estudio de la variedad de estrategias cognitivas, idiosincrásicas ��� o aprendidas, empleadas por alumnos del primer ciclo de la enseñanza básica chilena al practicar � ���� actividades de cálculo mental. Presentamos un diagnóstico del desempeño en tareas de cálculo ���� mental aditivo (sumas y restas) de una muestra de alumnos de escuelas subvencionadas por ���� el Estado, en estratos socio-económicos medios y medio-bajos en las ciudades de Santiago y ���� Valparaíso, junto con un catastro de las estrategias observadas, así como una primera versión de ���� un programa desarrollado por nosotros disponible en internet, que permite evaluar el desempeño ���� de los alumnos, incluyendo sus tiempos de respuesta. Analizamos además la correlación entre ����GÁLVEZ, COSMELLI, CUBILLOS, LEGER, MENA, TANTER, FLORES, LUCI, MONTOYA, SOTO Relime, Vol. 14 (1), Marzo de 2011 10 socioeconômico médio e médio-baixo subsidiadas pelo estado nas cidades de Santiago e Valparaíso, com um registo das estratégias detectadas e uma primeira versão de um programa desenvolvido por nós, disponivel na internet, para avaliar o desempenho dos alunos, incluindo seus tempos de resposta. Nós investigamos ainda a correlação entre o desempenho nas tarefas propostas (porcentagem de repostas corretas, tempos de resposta) e o desempenho escolar médio em matemática. PALAVRAS CHAVE: Cálculo mental, estratégias cognitivas, modos cognitivos, metáforas, tempo de resposta. RÉSUMÉ. Nous abordons l’étude de la variété des stratégies cognitives, idiosyncratiques ou apprises, utilisées par des étudiants du premier cycle d’école primaire au Chili, pour la pratique du calcul mental. Nous présentons une analyse des performances sur des tâches de calcul mental additif (addition et soustraction) d’un échantillon d’élèves d’écoles subventionnées dans des couches à milieu socio-économique faible et moyen dans les villes de Santiago et Valparaiso. Nous présentons un registre des stratégies détectées et une première version d’un logiciel développé par nous et disponible sur internet qui nous permet d’évaluer la performance des élèves, temps de réponse compris. Nous avons aussi étudié la corrélation entre la performance sur les tâches proposées (pourcentages de réponses correctes, temps de réponse) et le rendement scolaire moyen en mathématiques. MOTS CLÉS: Calcul mental, stratégies cognitives, styles cognitifs, métaphores, temps de réponse. 1. INTRODUCCIÓN 1.1. El cálculo mental en la escuela primaria: ¿Por qué y para qué? El cálculo mental (CM) perdió su papel primordial debido a la llegada de las calculadoras, las computadoras y los teléfonos celulares; sin embargo, en las últimas décadas ha recobrado su importancia como una actividad cognitiva reveladora en el proceso de enseñanza-aprendizaje temprano de las matemáticas (Butlen & Pézard, 1992; Beishuizen, 1993; Gómez, 1995; Siegler & Shipley, 1995; Pochon, 1997; Askew, 1999 y 2004; Hidalgo, Maroto & Palacios, 1999; Ortega & Ortiz, 2002; Brissiaud, 2003). Butlen y Pézard (1992) plantean como su primera hipótesis de trabajo el hecho que el CM constituye un dominio privilegiado para examinar las concepciones numéricas de los alumnos y su disponibilidad (p. 325). El CM, eclipsado por el desarrollo tecnológico en la década de los setenta, como medio de cálculo rápido y eficaz, y relegado a un segundo plano por la reforma de las “matemáticas modernas” en diversos países, resucitó sin embargo un par de décadas después como un medio excepcionalmente adecuado para favorecer en los alumnos (Lethielleux, 2005, p. 17-18): � (Butlen & Pézard, 1992; Beishuizen, 1993; Gómez, 1995; Siegler & Shipley, 1995; Pochon, 1997; Askew, 1999 y 2004; Hidalgo, Maroto & Palacios, 1999; Ortiz, 2002; Brissiaud, 2003). Butlen y Pézard (1992) plantean como su primera hipótesis de trabajo el hecho que el CM constituye un dominio privilegiado para examinar las concepciones numéricas de los alumnos y su disponibilidad ������1. ������ INTRODUCCIÓN ������ El cálculo mental en la escuela primaria: ¿Por qué y para qué? ���� El cálculo mental (CM) perdió su papel primordial debido a la llegada de las calculadoras, las computadoras y los teléfonos celulares; sin embargo, en las �� últimas décadas ha recobrado su importancia como una actividad cognitiva reveladora en el proceso de enseñanza-aprendizaje temprano de las matemáticas (Butlen & Pézard, 1992; Beishuizen, 1993; Gómez, 1995; Siegler & Shipley, 1995; Pochon, 1997; Askew, 1999 y 2004; Hidalgo, Maroto & Palacios, 1999; Brissiaud, 2003). Butlen y Pézard (1992) plantean como su primera � (Butlen & Pézard, 1992; Beishuizen, 1993; Gómez, 1995; Siegler & Shipley, 1995; ������ � Pochon, 1997; Askew, 1999 y 2004; Hidalgo, Maroto & Palacios, 1999; ������ �Brissiaud, 2003). Butlen y Pézard (1992) plantean como su primera ������ � � MOTS CLÉS: Calcul mental, stratégies cognitives, styles cognitifs, métaphores, temps de réponse. ���� Nous abordons l’étude de la variété des stratégies cognitives, idiosyncratiques ou ���� apprises, utilisées par des étudiants du premier cycle d’école primaire au Chili, pour la pratique ���� du calcul mental. Nous présentons une analyse des performances sur des tâches de calcul mental ��� additif (addition et soustraction) d’un échantillon d’élèves d’écoles subventionnées dans des � ��� couches à milieu socio-économique faible et moyen dans les villes de Santiago et Valparaiso. � ��� Nous présentons un registre des stratégies détectées et une première version d’un logiciel � ���� développé par nous et disponible sur internet qui nous permet d’évaluer la performance des ���� élèves, temps de réponse compris. Nous avons aussi étudié la corrélation entre la performance sur ���� les tâches proposées (pourcentages de réponses correctes, temps de réponse) et le rendement ���� MOTS CLÉS: Calcul mental, stratégies cognitives, styles cognitifs, métaphores, temps de réponse. ����Relime, Vol. 14 (1), Marzo de 2011 ESTRATEGIAS COGNITIVAS PARA EL CÁLCULO MENTAL 11 - El desarrollo de la atención, la concentración y la memoria - La familiarización progresiva con los números, al punto de poder “jugar con ellos”, expresar un número de variadas maneras, según el contexto del cálculo, y aprovechar las propiedades fundamentales de las operaciones numéricas básicas (asociatividad, conmutatividad, distributividad) - La expresión, puesta en común, discusión y comparación —en una dinámica colectiva— de una variedad de procedimientos y estrategias para calcular, en función de las relaciones entre los números con los que se está operando 1.2. El cálculo mental en la enseñanza básica chilena El Ministerio de Educación de Chile (MINEDUC) definió al CM como un área de interés destacado en los programas de primero a cuarto año de Educación General Básica (escolaridad primaria), reformulados en 2002 y aún vigentes, en los que se promueve explícitamente el aprendizaje de estrategias de cálculo mental. No obstante, en la mayoría de las aulas todavía se enseña procedimientos únicos de cálculo escrito que utilizan y memorizan los alumnos, por lo cual son incapaces de detectar y corregir los errores en su aplicación, quedando supeditados a las correcciones del profesor para validar sus resultados. De este modo, aunque hayan manipulado material concreto e icónico cuando aprenden los números en el primer y segundo año de la educación básica, surge una neta ruptura cognitiva con el ulterior aprendizaje mecánico y simbólico de algoritmos. Este hecho avala lo conjeturado por Radford y André (2009): Puede ser que uno de los problemas con la enseñanza tradicional, centrada en el papel y el lápiz, es que no permite hacer conexiones durables con la experiencia sensorial vivida por los alumnos en sus primeros años escolares . Por tanto, la fórmula aparece abstracta, sin fundamento y desprovista de sentido (p. 246). Desde nuestro punto de vista, apropiarse de las estrategias del CM implica utilizar de manera flexible y “oportunista” las propiedades del sistema de numeración y de las operaciones aritméticas para sustituir un cálculo que se propone en una situación dada por otro equivalente, pero más sencillo. Así, se desarrollan estrategias no convencionales “situadas”, en el sentido que consideran la situación numérica donde se plantea el cálculo a realizar. 1 Propósitos similares a éstos son los de Arzarello, Bosch, Gascón y Sabena (2008) 12 Parece claro que los planes y programas del MINEDUC no están siendo aplicados adecuadamente en las aulas. Esto se constata en los resultados insuficientes que obtienen los alumnos en evaluaciones estandarizadas, como el test del Sistema Nacional de Medición de la Calidad de la Educación (SIMCE), y en las diferencias que dicha medición revela entre colegios, comunas y regiones del país. Cabe notar que un buen desempeño en el CM da una ventaja importante para responder rápida y correctamente muchas de las preguntas (todas de selección múltiple). El test, cuya índole es más cercana a TIMMS que a PISA, define tres niveles de logro de aprendizaje: inicial, intermedio y avanzado. Los últimos resultados del test SIMCE, aplicado a cuarto y octavo año básico, indican un escaso progreso académico de los alumnos en la prueba de Educación Matemática (Beyer, 2010; Mineduc, 2010). Por ejemplo, en 2009, el 37% de los alumnos de cuarto año resultó clasificado, a escala nacional, en un modesto “nivel inicial” de logro de aprendizajes, que corresponde a un grado de apropiación mínimo de los contenidos curriculares. Por otra parte, a través de entrevistas y encuestas tanto a alumnos como a profesores, así como experiencias de aula, hemos reunido evidencia indirecta y diversa de que el CM no es una práctica generalizada en nuestro país. La enseñanza habitual no sólo no lo fomenta, sino que tiende a bloquear en los niños la búsqueda de estrategias alternativas para abordar problemas, incluyendo los más elementales. En realidad, parecería que se tiende a cristalizar las respuestas de los niños porque pierden de manera progresiva la espontaneidad y se “sedimentan”, dejando como única vía de acción la reproducción de técnicas previamente memorizadas (Espinoza, Barbé & Gálvez, 2009). Nos interesamos, entonces, en estimular y facilitar la práctica de un CM “situado” y “reflexivo” que supere el “psitacismo algorítmico” en que suele desembocar el entrenamiento tradicional del cálculo, donde los alumnos aprenden de memoria recetas universales, válidas para números cualesquiera, independientemente de su forma y de las relaciones particulares que existen entre ellos. 1.3. El presente trabajo En vista de lo expuesto, nos proponemos sentar las bases de un examen diagnóstico, en primera instancia, sobre la capacidad del CM aditivo que tienen alumnos del primer ciclo de la Enseñanza General Básica chilena, un registro de las estrategias observadas y la primera versión de un programa web (disponible en Ecocam, 2009) que permita diagnosticar y estudiar el desempeño de los estudiantes en el CM. � independientemente de su forma y de las relaciones particulares que existen entre ellos. El presente trabajo En vista de lo expuesto, nos proponemos sentar las bases de un examen ������ La enseñanza habitual no sólo no lo fomenta, sino que tiende a bloquear en los ������ niños la búsqueda de estrategias alternativas para abordar problemas, incluyendo los más elementales. En realidad, parecería que se tiende a cristalizar las respuestas de los niños porque pierden de manera progresiva la espontaneidad y se “sedimentan”, dejando como única vía de acción la reproducción de técnicas previamente memorizadas (Espinoza, Barbé & Gálvez, 2009). Nos interesamos, entonces, en estimular y facilitar la práctica de un CM “situado” y “reflexivo” que supere el “psitacismo algorítmico” en que suele desembocar el entrenamiento tradicional del cálculo, donde los alumnos aprenden de memoria recetas universales, válidas para números cualesquiera, independientemente de su forma y de las relaciones particulares que existen entre � independientemente de su forma y de las relaciones particulares que existen entre ������ � � apropiación mínimo de los contenidos curriculares. Por otra parte, a través de entrevistas y encuestas tanto a alumnos como a profesores, así como experiencias de aula, hemos reunido evidencia indirecta y diversa de que el CM no es una práctica generalizada en nuestro país. La enseñanza habitual no sólo no lo fomenta, sino que tiende a bloquear en los niños la búsqueda de estrategias alternativas para abordar problemas, incluyendo ���� (todas de selección múltiple). El test, cuya índole es más cercana a TIMMS ���� que a PISA, define tres niveles de logro de aprendizaje: inicial, intermedio y ��� Los últimos resultados del test SIMCE, aplicado a cuarto y octavo año � ��� básico, indican un escaso progreso académico de los alumnos en la prueba de � ��� Educación Matemática (Beyer, 2010; Mineduc, 2010). Por ejemplo, en 2009, el � ���� de los alumnos de cuarto año resultó clasificado, a escala nacional, en un ���� modesto “nivel inicial” de logro de aprendizajes, que corresponde a un grado de ���� apropiación mínimo de los contenidos curriculares. ���� Por otra parte, a través de entrevistas y encuestas tanto a alumnos como ���� a profesores, así como experiencias de aula, hemos reunido evidencia indirecta ����Relime, Vol. 14 (1), Marzo de 2011 ESTRATEGIAS COGNITIVAS PARA EL CÁLCULO MENTAL 13 Dicho programa consigna las respuestas, el porcentaje de aciertos y los tiempos de respuesta de los alumnos. Para comprender mejor los procesos en juego, investigamos además la correlación entre el desempeño en CM y el rendimiento escolar en matemáticas. Con este trabajo, esperamos preparar el terreno para una versión de nuestro programa que sea sensible al contexto (Abowd et al., 1999) y pueda detectar las estrategias que ocupan los alumnos y ayudarlos a desarrollar otras más eficaces, situadas y relevantes para su comprensión de los números y su operatoria. Creemos que si se continúa la propuesta del presente trabajo, ésta podría jugar un rol importante en el apoyo al desarrollo de destrezas del CM, las cuales permitan a los niños transitar por las matemáticas utilizando reglas que vayan incorporando de manera progresiva. Esperamos así contribuir a que desarrollen su capacidad para razonar sobre nuevos problemas en matemáticas y en otros ámbitos de la vida. 2. MARCO TEÓRICO Nuestro marco teórico se apoya en la hipótesis general que la actividad cognitiva opera con base en metáforas, desde lo más concreto a lo más abstracto (Johnson & Lakoff, 2003; Gallese & Lakoff, 2005; Radford & André, 2009). Las matemáticas aparecen así no como una ciencia desencarnada, abstracta e ideal, sino como una creación de la “mente corporizada” del hombre (hecha cuerpo, embodied en el original inglés, aseguran Varela, Thomson y Rosch, 1991), que tiene una permanente actividad metafórica, la cual va desde los niveles más elementales a los más sofisticados (Sfard, 1994; Presmeg, 1997; Lakoff & Núñez, 2000). Las metáforas conceptuales pueden ser vistas como mecanismos neurológicos que permiten adaptar los sistemas neuronales utilizados por la actividad sensoriomotriz para crear formas de razonamiento abstracto (Lakoff, 2003). De este modo, aparece otra forma de enseñar y aprender matemáticas, si se reconoce que la cognición matemática es corporizada y está íntimamente ligada con nuestro funcionamiento sensoriomotor (Gallese & Lakoff, 2005). Por tanto, junto con Gallese y Lakoff (2005), así como Radford y André (2009), divergimos de la teoría del desarrollo cognitivo de Piaget, que veía al desarrollo sensoriomotor como base previa al desarrollo conceptual ulterior del niño. El conocer, y el aprender en particular, surgen en nuestra visión como un acoplamiento enactivo de nuestro cuerpo con el mundo, donde las modalidades sensoriales (la visión, el � que permiten adaptar los sistemas neuronales utilizados por la actividad sensoriomotriz para crear formas de razonamiento abstracto (Lakoff, 2003). De este modo, aparece otra forma de enseñar y aprender matemáticas, si se reconoce que la cognición matemática es corporizada y está íntimamente ligada con nuestro funcionamiento sensoriomotor (Gallese & Lakoff, 2005). Por tanto, ������ Nuestro marco teórico se apoya en la hipótesis general que la actividad cognitiva ������ opera con base en metáforas, desde lo más concreto a lo más abstracto (Johnson & Lakoff, 2003; Gallese & Lakoff, 2005; Radford & André, 2009). Las matemáticas aparecen así no como una ciencia desencarnada, abstracta e ideal, sino como una creación de la “mente corporizada” del hombre (hecha cuerpo, en el original inglés, aseguran Varela, Thomson y Rosch, 1991), que tiene una permanente actividad metafórica, la cual va desde los niveles más elementales a los más sofisticados (Sfard, 1994; Presmeg, 1997; Lakoff & Núñez, 2000). Las metáforas conceptuales pueden ser vistas como mecanismos neurológicos que permiten adaptar los sistemas neuronales utilizados por la actividad sensoriomotriz para crear formas de razonamiento abstracto (Lakoff, 2003). De este modo, aparece otra forma de enseñar y aprender matemáticas, si se � que permiten adaptar los sistemas neuronales utilizados por la actividad ������ � sensoriomotriz para crear formas de razonamiento abstracto (Lakoff, 2003). ������ � De este modo, aparece otra forma de enseñar y aprender matemáticas, si se ������ � � MARCO TEÓRICO Nuestro marco teórico se apoya en la hipótesis general que la actividad cognitiva ����� estrategias que ocupan los alumnos y ayudarlos a desarrollar otras más eficaces, ���� situadas y relevantes para su comprensión de los números y su operatoria. ���� Creemos que si se continúa la propuesta del presente trabajo, ésta podría ��� jugar un rol importante en el apoyo al desarrollo de destrezas del CM, las cuales � ��� permitan a los niños transitar por las matemáticas utilizando reglas que vayan � ��� incorporando de manera progresiva. Esperamos así contribuir a que desarrollen su � ���� capacidad para razonar sobre nuevos problemas en matemáticas y en otros ����GÁLVEZ, COSMELLI, CUBILLOS, LEGER, MENA, TANTER, FLORES, LUCI, MONTOYA, SOTO Relime, Vol. 14 (1), Marzo de 2011 14 tacto o el oído) aparecen integradas a la motricidad y la anticipación. ¡Conocemos moviéndonos en, e interactuando con, el mundo! (Varela, Thomson & Rosch, 1991; Gallese & Lakoff, 2005; Masciotra, Roth & Morel, 2007; Stewart, Gapenne & Di Paolo, 2010). Por tanto, apoyamos la concepción multimodal multimodal de la cognición y de la cognición y el pensamiento (Gallese & Lakoff, 2005; Radford & André, 2009), que sustenta la hipótesis de que el uso y práctica de metáforas sensoriomotrices es relevante al aprender matemáticas (Radford & André, 2009, p. 244-266). Ahora bien, las metáforas —principalmente las conceptuales— que son más impactantes y significativas para nuestros procesos cognitivos conllevan habitualmente un tránsito de un modo de representación a otro, o de un modo cognitivo a otro. En consecuencia, una primera descripción de nuestra multimodalidad cognitiva involucraría los tres modos internos de representación que propone Bruner (1996): enactivo (basado en la acción y la motricidad), icónico (sustentado en imágenes) y simbólico (fundamentado en símbolos y lenguajes). En el exitoso modelo didáctico de Singapur, que aplica explícita y sistemáticamente dicho marco teórico en la formación de maestros y en el trabajo en aula, estos modos de representación son llamados: concrete, pictorial, abstract abstract (Yeap, 2005). (Yeap, 2005). Durante su desarrollo cognitivo, el niño transita desde lo enactivo a lo simbólico, pasando por lo icónico, pero no habría que creer que éste es un progreso unidireccional, sin retorno: la resolución de diversos problemas se hace posible muchas veces por un tránsito “descendente” de lo simbólico a lo icónico o a lo enactivo, como sucede en la activación de metáforas sensoriomotrices (Soto-Andrade, 2007a, 2007b, 2008). Nuestra multimodalidad cognitiva también se expresa en los modos cognitivos, es decir, en los modos en que se procede al abordar situaciones problemáticas y al pensar en general. Adherimos aquí a la descripción de cuatro modos cognitivos básicos, obtenidos a partir de la doble dicotomía verbal-no verbal y secuencial-no secuencial secuencial-no secuencial, propuesta por Flessas (1997), la cual fue desarrollada , propuesta por Flessas (1997), la cual fue desarrollada en la neuropsicología del niño por Flessas y Lussier (2005). Cabe señalar que estas dicotomías tienen una base neurofisiológica: la primera corresponde a la dicotomía hemisferio izquierdo - hemisferio derecho,; y la segunda, a la dicotomía frontal-occipital frontal-occipital (Luria, 1973; Flessas & Lussier, 2005). (Luria, 1973; Flessas & Lussier, 2005). Una primera clasificación de los contenidos matemáticos en términos de dichos estos modos cognitivos fue esbozada por Flessas y Lussier (2005), mientras que su relevancia explícita en la didáctica de las matemáticas ha sido ejemplificada en el trabajo de Soto-Andrade (2006, 2007a, 2007b, 2008). Actualmente podemos extender esta clasificación mediante una tercera � secuencial-no secuencial en la neuropsicología del niño por Flessas y Lussier (2005). Cabe señalar que estas dicotomías tienen una base neurofisiológica: dicotomía hemisferio izquierdo - hemisferio frontal-occipital ������ Durante su desarrollo cognitivo, el niño transita desde lo enactivo a lo ������ simbólico, pasando por lo icónico, pero no habría que creer que éste es un ������ progreso unidireccional, sin retorno: la resolución de diversos problemas se hace posible muchas veces por un tránsito “descendente” de lo simbólico a lo icónico o a lo enactivo, como sucede en la activación de metáforas sensoriomotrices (Soto-Andrade, 2007a, 2007b, 2008). Nuestra multimodalidad cognitiva también se expresa en los es decir, en los modos en que se procede al abordar situaciones problemáticas y al pensar en general. Adherimos aquí a la descripción de cuatro modos cognitivos básicos, obtenidos a partir de la doble dicotomía secuencial-no secuencial en la neuropsicología del niño por Flessas y Lussier (2005). Cabe señalar que estas dicotomías tienen una base neurofisiológica: ������ � secuencial-no secuencial ������ � en la neuropsicología del niño por Flessas y Lussier (2005). Cabe señalar que ������ ������� estas dicotomías tienen una base neurofisiológica: ������ � � y sistemáticamente dicho marco teórico en la formación de maestros y en el trabajo en aula, estos modos de representación son llamados: Durante su desarrollo cognitivo, el niño transita desde lo enactivo a lo simbólico, pasando por lo icónico, pero no habría que creer que éste es un ���� principalmente las conceptuales ���� — ���� que ���� son más impactantes y significativas para nuestros procesos cognitivos ���� conllevan habitualmente un tránsito de un modo de representación a otro, o de ��� un modo cognitivo a otro. En consecuencia, una primera descripción de nuestra � ��� modos internos de representación � ��� (basado en la acción y la motricidad), � ���� (fundamentado en símbolos y ���� lenguajes). En el exitoso modelo didáctico de Singapur, que aplica explícita ���� y sistemáticamente dicho marco teórico en la formación de maestros y en el ���� trabajo en aula, estos modos de representación son llamados: ����Relime, Vol. 14 (1), Marzo de 2011 ESTRATEGIAS COGNITIVAS PARA EL CÁLCULO MENTAL 15 dicotomía: funcional-predicativo (Schwank, 1999), para obtener finalmente ocho modos cognitivos básicos. En el contexto educativo, la existencia e importancia de tal diversidad de estrategias y modos cognitivos ha sido reconocida paulatinamente durante las últimas décadas por Luria (1973), Siegler y Shrager (1984), de la Garanderie (1989), Bruner (1996), Flessas (1997), Flessas y Lussier (2005), Gardner (2005) y Soto-Andrade (2007a, 2007b). Las metáforas no sólo cumplen un rol cognitivo, sino también didáctico, ya que suministran tanto medios de aprehender y construir nuevos conceptos como herramientas amigables para resolver eficazmente situaciones problemáticas complejas (Presmeg, 1997; Lakoff & Núñez, 2000; Soto-Andrade, 2006, 2007a, 2007b, 2008). Por ello, en el aprendizaje de las matemáticas el CM es un dominio donde el uso de metáforas como forma de “re-presentar” (presentar de otra manera) o de “imaginarse” un problema deviene no sólo algo explícito, sino también necesario. La suma algorítmica vertical se escribe de manera natural en el papel, pero si al calcular mentalmente no nos reducimos a visualizar el algoritmo escrito, surgen metáforas como juntar, añadir, llenar o avanzar, cuya activación pone en juego capacidades sensoriomotrices relevantes para el CM. Por ejemplo, para restar 51-18 nos vemos yendo de la cuadra 18 a la 51 de una larga avenida; caminamos primero hasta la 20, donde tomamos el bus expreso que se detiene sólo cada diez cuadras. Descendemos en la cuadra 50 y caminamos una más para llegar a nuestro destino. En total: 2+30+1=30+(2+1)=30+3=33. De este modo, vemos cómo en lugar de la aplicación mecánica de un algoritmo memorizado (resta con reserva), el niño puede recurrir a una “visualización numérica” que podría estar ligada a una activación idiosincrásica de la metáfora de la pista numérica, bajo la forma “sumar es avanzar, restar es retroceder”, o también “restar es recorrer lo que falta” (Lakoff & Núñez, 2002; Soto-Andrade, 2006, 2007a, 2007b, 2008). Por supuesto, esta posible activación depende de la experiencia previa del niño, su modo cognitivo predominante, sus interacciones sociales, el contrato didáctico vigente en el aula, entre otros aspectos. Esta postura teórica, en lo cognitivo y en lo didáctico, es avalada por el hecho de que distintos periodos del desarrollo cognitivo requieren o facilitan el uso de distintos tipos de competencias —estrategias o metáforas— por parte del incipiente cogitante. En efecto, como muestran Gogtay et al. (2004), distintas regiones cerebrales y, correlativamente, distintos tipos de funciones (motrices, sensoriales, asociativas, atencionales) maduran en diferentes � Soto-Andrade, 2006, 2007a, 2007b, 2008). Por supuesto, esta posible activación depende de la experiencia previa del niño, su modo cognitivo predominante, sus interacciones sociales, el contrato didáctico vigente en el aula, entre otros aspectos. Esta postura teórica, en lo cognitivo y en lo didáctico, es avalada por el ������ capacidades sensoriomotrices relevantes para el CM. Por ejemplo, para restar ������ 51-18 nos vemos yendo de la cuadra 18 a la 51 de una larga avenida; caminamos primero hasta la 20, donde tomamos el bus expreso que se detiene sólo cada diez cuadras. Descendemos en la cuadra 50 y caminamos una más para llegar a nuestro destino. En total: 2+30+1=30+(2+1)=30+3=33. De este modo, vemos cómo en lugar de la aplicación mecánica de un algoritmo memorizado (resta con reserva), el niño puede recurrir a una “visualización numérica” que podría estar ligada a una activación idiosincrásica de la metáfora de la pista numérica, bajo la forma “sumar es avanzar, restar es retroceder”, o también “restar es recorrer lo que falta” (Lakoff & Núñez, 2002; Soto-Andrade, 2006, 2007a, 2007b, 2008). Por supuesto, esta posible activación depende de la experiencia previa del niño, su modo cognitivo predominante, sus interacciones sociales, el contrato didáctico vigente en el aula, entre otros ������ � Soto-Andrade, 2006, 2007a, 2007b, 2008). Por supuesto, esta posible activación ������ � depende de la experiencia previa del niño, su modo cognitivo predominante, ������ � sus interacciones sociales, el contrato didáctico vigente en el aula, entre otros ������ � � “imaginarse” un problema deviene no sólo algo explícito, sino también necesario. La suma algorítmica vertical se escribe de manera natural en el papel, pero si al calcular mentalmente no nos reducimos a visualizar el algoritmo escrito, surgen metáforas como juntar, añadir, llenar o avanzar, cuya activación pone en juego capacidades sensoriomotrices relevantes para el CM. Por ejemplo, para restar 51-18 nos vemos yendo de la cuadra 18 a la 51 de una larga avenida; caminamos ���� Las metáforas no sólo cumplen un rol cognitivo, sino también didáctico, ya ���� que suministran tanto medios de aprehender y construir nuevos conceptos como ��� herramientas amigables para resolver eficazmente situaciones problemáticas � ��� Núñez, 2000; Soto-Andrade, 2006, 2007a, � ���� Por ello, en el aprendizaje de las matemáticas el CM es un dominio donde ���� el uso de metáforas como forma de “re-presentar” (presentar de otra manera) o de ���� “imaginarse” un problema deviene no sólo algo explícito, sino también necesario. ���� La suma algorítmica vertical se escribe de manera natural en el papel, pero si al ���� calcular mentalmente no nos reducimos a visualizar el algoritmo escrito, surgen ����GÁLVEZ, COSMELLI, CUBILLOS, LEGER, MENA, TANTER, FLORES, LUCI, MONTOYA, SOTO Relime, Vol. 14 (1), Marzo de 2011 16 momentos del desarrollo, entre los 4 y los 21 años. A grandes rasgos, primero aparece lo sensoriomotor, luego lo asociativo y finalmente lo referente al control atencional. Esto sugiere que una intervención temprana, donde se fomente el uso de metáforas sensoriomotrices antes que las representaciones abstractas, es coherente con las etapas de desarrollo del cerebro, en particular con el de la materia gris (Radford & André, 2009, p. 221-222). 3. TRABAJO RELACIONADO Y ANTECEDENTES 3.1. Trabajo relacionado El cálculo mental ha sido un ingrediente frecuente de los programas escolares, pero su abordaje ha evolucionado desde la memorización de relaciones numéricas —como las tablas de multiplicar— hacia proposiciones didácticas que lo designan como CM reflexivo o pensado (Butlen & Pezard, 1992; Beishuizen, 1993; Butlen, 2007; Brissiaud, 2007; Pochon, 1997; Williamson, 2008; Gálvez, 2009), sin descartar su componente “automatizada” (Lethielleux, 2005; Anselmo, EvesqueSagnard, Fenoy, Planchette & Zuchetta, 2008). Brissiaud (2003) propone enseñar el CM para “extender la red de relaciones numéricas conocidas” más allá de las relaciones de vecindad, y posibilitar que los alumnos pongan en práctica procedimientos “espontáneos” de cálculo pensado. Se trata de un cálculo particularizante, donde el alumno debe aprender a hacer “buenas elecciones” frente a cada caso (Brissiaud, 2003, p. 162). Descubrir las estrategias cognitivas que utilizan los alumnos de manera efectiva para calcular mentalmente nos informa sobre “la idea que se hacen de los números” (Butlen & Pezard, 1992). Una visión análoga se expresa en la escuela alemana de Didáctica de las Matemáticas, que desde hace cerca de dos siglos se ha interesado en las “maneras de imaginarse” (Vorstellungen Vorstellungen) los objetos y ) los objetos y procesos matemáticos (Vom Hofe, 1995). Euler ya decía que “los niños podrían imaginarse los números negativos como deudas” (loc. cit.). Cabe señalar que el rol operacional de las Vorstellungen corresponde al de las metáforas conceptuales (Soto-Andrade, 2006, 2007a, 2007b), en el sentido de Lakoff y Núñez (2002), y al de la representación mediante “materiales concretos” en numerosos educadores matemáticos, como Montessori (1967), Gattegno (1998) y Dienes (2003). Alsina (2007) explora las correlaciones entre el ejecutivo central y la mejor performance en pruebas aritméticas de cálculo, que equivale esencialmente a la capacidad de memoria de trabajo (lo que uno mantiene presente o co-presente en � alemana de Didáctica de las Matemáticas, que desde hace cerca de dos siglos se ha interesado en las “maneras de imaginarse” ( procesos matemáticos (Vom Hofe, 1995). Euler ya decía que “los niños podrían imaginarse los números negativos como deudas” (loc. cit.) rol operacional de las (Soto-Andrade, 2006, 2007a, 2007b), en el sentido de Lakoff y Núñez (2002), y al ������ Zuchetta, 2008). ������ Brissiaud (2003) propone enseñar el CM para “extender la red de relaciones numéricas conocidas” más allá de las relaciones de vecindad, y posibilitar que los alumnos pongan en práctica procedimientos “espontáneos” de cálculo pensado. Se trata de un cálculo particularizante, donde el alumno debe aprender a hacer “buenas elecciones” frente a cada caso (Brissiaud, 2003, p. 162). Descubrir las estrategias cognitivas que utilizan los alumnos de manera efectiva para calcular mentalmente nos informa sobre “la idea que se hacen de los números” (Butlen & Pezard, 1992). Una visión análoga se expresa en la escuela ������ alemana de Didáctica de las Matemáticas, que desde hace cerca de dos siglos ������ se ha interesado en las “maneras de imaginarse” ( procesos matemáticos (Vom Hofe, 1995). Euler ya decía que “los niños podrían imaginarse los números negativos como deudas” (loc. cit.) � alemana de Didáctica de las Matemáticas, que desde hace cerca de dos siglos ������ � se ha interesado en las “maneras de imaginarse” ( ������ � procesos matemáticos (Vom Hofe, 1995). Euler ya decía que “los niños podrían ������ � imaginarse los números negativos como deudas” (loc. cit.) ������ � � —como las tablas de multiplicar— hacia proposiciones didácticas que lo designan (Butlen & Pezard, 1992; Beishuizen, 1993; Butlen, 2007; Brissiaud, 2007; Pochon, 1997; Williamson, 2008; Gálvez, 2009), sin descartar su componente “automatizada” (Lethielleux, 2005; Anselmo, Evesque- ���� El cálculo mental ha sido un ingrediente frecuente de los programas escolares, ���� pero su abordaje ha evolucionado desde la memorización de relaciones numéricas ���� —como las tablas de multiplicar— hacia proposiciones didácticas que lo designan ���� (Butlen & Pezard, 1992; Beishuizen, 1993; Butlen, ���� 2007; Brissiaud, 2007; Pochon, 1997; Williamson, 2008; Gálvez, 2009), sin ����Relime, Vol. 14 (1), Marzo de 2011 ESTRATEGIAS COGNITIVAS PARA EL CÁLCULO MENTAL 17 la memoria al realizar una tarea). Un ejemplo clásico es mantener en la memoria (por repetición, imagen u otro medio) un número de teléfono, desde su recepción hasta su uso. La investigación de Alsina sugiere que sería interesante hacer una estimación de las capacidades individuales que tienen los estudiantes en su memoria de trabajo y correlacionarlas con su desempeño en CM; posiblemente tendremos una baja memoria de trabajo en los niños con más débil desempeño en CM. Asimismo, una forma de remediar la baja capacidad de memoria de trabajo sería no sólo entrenar a los niños a recordar números —como parece sugerir Alsina—, sino también utilizar estrategias alternativas como estimular la representación sensoriomotriz (vía metáforas) de las operaciones aritméticas, lo cual entroncaría con los trabajos de Gogtay et al. (2004) sobre los periodos de desarrollo cerebral. Recordemos que, según Gogtay, las regiones atingentes a la memoria de trabajo (corteza prefrontal y dorsolateral, fundamentalmente) maduran más tardíamente que las sensoriomotrices. La postura teórica que enfatiza el rol de las metáforas sensoriomotrices en el aprendizaje de las matemáticas y la práctica del CM ha recibido últimamente un nuevo sustento experimental por parte de la neurociencia cognitiva, en relación con la metáfora de la recta numérica (“los números son ubicaciones en una recta”), como proponen los trabajos de Dehaene y sus colaboradores. En efecto, Knops, Thirion, Hubbard, Michel y Dehaene (2009) muestran que los circuitos corticales para la atención espacial contribuyen a la aritmética mental en los seres humanos, en el caso específico de los movimientos oculares hacia la derecha o la izquierda cuando se da la suma o la resta de un número positivo. Así, al calcular 18+5 (respectivamente 18–5) se detecta, con ayuda de la Imaginería por Resonancia Magnética (IRM) de alta resolución, una variación de la actividad cerebral evocada, que es análoga a la generada por un movimiento ocular correspondiente a un desplazamiento en cinco unidades hacia la derecha (respectivamente, hacia la izquierda) en una recta virtual. Por otra parte, destacamos los trabajos de Siegler y sus colaboradores (Siegler Shrager, 1984; Siegler, 1989; Siegler & Shipley, 1995; Shrager & Siegler, 1998), quienes critican la visión piagetiana que afirma que para cada estadio del desarrollo cognitivo del niño hay una estrategia claramente dominante. Ellos invocan una evidencia experimental de que, desde pequeños, los niños ocupan una variedad de estrategias para realizar cálculos numéricos, en particular los mentales.

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