Enseñanza De La Multiplicacion

Introducción

Durante los últimos años se han desarrollado numerosos encuentros organizados por esta

Dirección con maestros, profesores, directores e inspectores de diferentes escuelas, distritos y

regiones con la finalidad de ofrecer espacios de reflexión conjunta sobre la enseñanza de diversos

contenidos del área de matemática. A partir de dichos encuentros, se han elaborado ya los

documentos Nº 1/99, Orientaciones sobre la Enseñanza de la División (2/01) y Orientaciones

sobre la Enseñanza de la Geometría (3/01) en los que se recuperan experiencias de maestros y

directores con el objetivo de difundirlas.

Este documento propone orientaciones para la enseñanza de la multiplicación y es,

evidentemente, complementario del documento sobre la enseñanza de la división. El marco

teórico desde el cuál se enfoca el tema es la Didáctica de la Matemática. En especial, se

señalan los trabajos de Brousseau en los que analiza fenómenos de la enseñanza de las

operaciones (1980), y el desarrollo de Vergnaud sobre los problemas de tipo multiplicativo

(1991). Nos brindan aportes específicos sobre la enseñanza de las operaciones las

investigaciones de Lerner (1992), el trabajo de Parra, (1994); la difusión de experiencias

realizadas en el aula (Broitman, 1999, 2000) y diversos documentos de diseño y desarrollo

curricular (Documento 4 GCBA, 1997; Diseño Curricular de la Prov. de Bs. As., Pre Diseño

Curricular GCBA,1999; Documento para séptimo grado, 2001,

Tradicionalmente la enseñanza de la multiplicación fue pensada como contenido de

segundo año bajo el supuesto de que los niños debían aprender primero a realizar las cuentas,

para luego aplicarlas en situaciones problemáticas. Aprender a multiplicar ha sido identificado con

el aprendizaje de las “tablas” y las cuentas. Hoy se sabe, sin embargo, que la construcción de

conocimientos sobre la multiplicación no se logra cuando se aborda la enseñanza del algoritmo.

Por una parte, muchos niños saben resolver los cálculos, pero no reconocen cuál es el conjunto de

problemas que se resuelven con dicha operación. Por otra parte, los niños pueden resolver

problemas multiplicativos aún cuando no dominen estrategias de cálculo. Si aprender a multiplicar

y a dividir no es terreno exclusivo de las cuentas, ¿qué significa entonces saber multiplicar y

dividir? Desde nuestra perspectiva, la construcción del sentido de los conocimientos de las

operaciones involucra diferentes aspectos. Entre ellos, una variedad de problemas, una variedad

de procedimientos de resolución, una variedad de estrategias de cálculo y el estudio de sus

propiedades.

Hoy sabemos que la construcción de estos conocimientos lleva varios años a los niños.

¿Cómo hacerlos “crecer” en cada año? ¿Cuáles son los diferentes tipos de problemas, los

diversos procedimientos de resolución y estrategias de cálculo que se pueden abordar en cada

ciclo? Ofrecer elementos para responder a estas preguntas es la finalidad de este documento.

En el mismo se abordan los siguientes aspectos:

- Problemas “de multiplicación” desde primer año.

- La presentación del signo x en segundo año.

- Diferentes tipos de problemas multiplicativos en EGB 1 y EGB 2.

- Estrategias de cálculo en EGB 1 y EGB 2.

- La multiplicación como objeto de estudio en EGB 3.

- Una propuesta de distribución de contenidos por año

Incluiremos breves relatos del trabajo realizado en las aulas y producciones de alumnos.

Agradecemos a todos los docentes que participaron en los encuentros y que nos autorizaron a

difundir su trabajo.

Horacio Itzcovich y Claudia Broitman 3

1) Problemas “de multiplicación” desde primer año

Del mismo modo que ha sido planteado para los problemas de reparto y partición (Doc.

2/01), los niños pueden abordar el estudio de ciertos problemas multiplicativos aún cuando no

dominen estrategias de cálculo ni la utilización del signo x . ¿Cómo resuelven entonces los

problemas? Tomemos por ejemplo un problema como el siguiente: “¿Cuántas patas tienen 5

perros?” Como los alumnos de primer año o principios de segundo aún no disponen de recursos

de cálculo multiplicativo, movilizarán diferentes recursos para su resolución: dibujar, contar,

sumar, etc.

Presentar a los niños desde los inicios de primer año problemas multiplicativos tiene

diversos objetivos. Por un lado, generar condiciones propicias en el aula para abordar

conocimientos y actitudes vinculados al quehacer matemático, a la tarea de resolver problemas y

al análisis de los mismos. Se trata de que los alumnos puedan interpretar situaciones nuevas para

las cuales no tienen un recurso experto y desarrollen confianza en su posibilidad de construir

estrategias personales válidas que podrán ser comparadas buscando similitudes y diferencias,

juzgando su validez, analizando su economía, etc. En segundo lugar, la inclusión de este tipo de

problemas apunta a promover el estudio en sí mismo de situaciones multiplicativas, estudio

evidentemente provisorio que exigirá progresivos acercamientos en años siguientes.

En los encuentros con los docentes hemos analizado un conjunto de problemas posibles a

ser presentados a los niños en primero o segundo año, por ejemplo: “¿Cuántas patas tienen 6

perros?” , “¿Cuántas figuritas en cuatro paquetes si en cada uno hay 5 figuritas?, etc. El trabajo

de análisis realizado consistió principalmente en anticipar los procedimientos de resolución de

los niños, imaginar qué errores podrían producir y prever que tipo de intercambios se intentaría

promover en las aulas. Luego presentaron algunos problemas a sus alumnos. Entre los

procedimientos más frecuentes aparecen los dibujos y luego el conteo de elementos, el conteo

oral y la escritura del resultado. Otros niños utilizan marcas (rayitas) y registran los resultados

parciales acumulativos. Y aparecen también cálculos de sumas reiteradas.

Veamos algunas producciones de los niños de la Escuela Nº 24 de Boulogne:

4

También en la Escuela Nº 8 José Estrada en Bella Vista, San Miguel, las maestras de

primero y segundo año Telma del Valle y Marcela Cicchini coordinadas por la vicedirectora

Patricia Reinoso proponen a sus alumnos algunos problemas. 5

Es interesante observar cómo este niño cambia de procedimiento frente al aumento de

la cantidad de elementos a contar. Empieza con dibujos, pero luego resuelve el último problema

utilizando rayitas. Estas diferentes formas de resolución no son “niveles” por los que los niños

deben atravesar, los mismos alumnos utilizan uno u otro modo de resolución según los datos y el

tipo de objeto al que hace referencia la situación. 6

Un error típico en el tratamiento inicial de estos problemas es la utilización de la suma de

ambas cantidades involucradas. Por ejemplo para un problema como el siguiente “Tengo 4

floreros y en cada uno 6 flores ¿Cuántas flores en total?” sumar el 4 y el 6. Será necesario un

trabajo alrededor de esta escritura para considerar que la suma es pertinente en este problema,

pero no ésa. Por ejemplo, se espera que los alumnos puedan formular expresiones tales como:

“podés sumar, pero sumás otros números”, “en estos problemas se suma muchas veces el

mismo número”, “se puede sumar muchos 6, pero no 6 + 4”, etc.

Se ha analizado con los docentes que, en caso de que este error no apareciera, es

interesante hacer una intervención didáctica específica para incluir el debate alrededor del

mismo con la finalidad de que los alumnos expliciten por qué la suma de los dos números que

aparecen en el problema no permite su resolución. Una posible intervención es : “Un alumno de

otro primero dijo que este problema se podía resolver con esta suma: 4 + 6, ¿ustedes qué

piensan?” Otras posibles intervenciones posteriores para abordar esta distinción podrían ser

las siguientes: proponer a los niños que inventen y expresen oralmente problemas para 4 + 6 y

que los comparen con éste; analizar con los niños con qué sumas sí puede resolverse este

problema y por qué.

Luego de la resolución de los problemas, los docentes de primero y segundo años han

propuesto a sus alumnos analizar conjuntamente ciertos aspectos de la resolución.

Evidentemente fue necesario trabajar durante dos o tres clases con diferentes problemas para

abordar estas discusiones con los alumnos y dar oportunidades a que avancen en sus

conocimientos. Algunas discusiones que promovimos en las aulas fueron:

- La necesidad o no de dibujar todos los elementos del problema. Por ejemplo para el

problema en el que hay que calcular cuántas patas tienen 5 gatos: “¿Hace falta dibujar

los gatos?, ¿se puede resolver el problema dibujando solamente uno?”. Los alumnos

dicen que “no hace falta dibujar todos”, o que “se puede dibujar uno

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