Estimacion Resueltos

Estadistica Inferencial: Estimación para una y dos poblaciones. Medias y Proporciones.

Definición de estimación

Cuando hemos observado un valor numérico específico de nuestro estimador, nos referimos a ese valor como una estimación. En otras palabras, una estimación es un valor específico observado de una estadística. Hacemos una estimación si tomamos una muestra y calculamos el valor que toma nuestro estimador en esa muestra. Suponga que calculamos la lectura media de un odómetro (kilometraje) a partir de una muestra de taxis en sevicio y encontramos que ésta es de 160,000 kilómetros. Si utilizamos este valor específico para estimar el kilometraje de la flotilla de taxis completa, el valor obtenido de 160,000 kilómetros sería una estimación. En la tabla 9 ilustramos varias poblaciones, parámetros de población, estimadores y estimaciones.

Estimador sesgado e insesgado.

Un estimador puntual es el valor numérico de una estadística muestral empleado para estimar el valor de un parámetro de la población o proceso. Una de las características más importantes de un estimador es que sea insesgado. Un estimador insesgado es una estadística muestral cuyo valor esperado es igual al parámetro por estimar. Un valor esperado es el promedio a largo plazo de la estadística muestral. La eliminación de todo sesgo sistemático está asegurada cuando la estadística muestral corresponde a una muestra aleatoria tomada de una población o a un subgrupo racional tomado de un proceso. Ambos métodos de muestreo garantizan que la muestra sea insesgada, aunque no eliminan la variabilidad del muestreo, o error de muestreo, como se explicará en la siguiente sección.

En la tabla 10 se presentan algunos de los estimadores puntuales de parámetros de la población de uso más frecuente. En todos los casos, el estimador apropiado de un parámetro de la población es sencillamente la estadística muestral correspondiente.

Tabla 10

Una o Dos poblaciones

Intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias con el uso de la distribución normal

A menudo es necesario estimar la diferencia entre dos medias poblacionales, como la diferencia entre los niveles salariales de dos empresas. El estimador puntual insesgado de (1 - 2) CS (1- 2). El intervalo de confianza se elabora en forma similar al usado para la estimación de la media, excepto que el error estándar pertinente para la distribución de muestreo es el error estándar de la diferencia entre medias. El uso de la distribución normal se basa en las mismas condiciones que en el caso de la distribución de muestreo de la media, salvo que están implicadas dos muestras. La fórmula empleada para estimar la diferencia entre dos medias poblacionales con intervalos de confianza es

ó

Cuando se conocen las desviaciones estándar de las dos poblaciones, el error estándar de la diferencia entre medias es

Cuando se desconocen las desviaciones estándar de las poblaciones, el error estándar estimado de la diferencia entre medias dado el uso apropiado de la distribución normal es

Los valores de los errores estándar de las respectivas medias incluidos en estas fórmulas se calculan con las fórmulas dadas, incluida la posibilidad de usar factores de corrección por finitud cuando corresponda

Ejemplo. El salario medio semanal de una muestra de n = 30 empleados de una gran empresa manufacturera es,  = $280.00, con una desviación estándar muestral de s = $14.00. En otra gran empresa, una muestra aleatoria de n = 40 empleados por hora tiene un salario medio semanal de $270.00, con una desviación estándar muestral de s = $10.00. El intervalo de confianza de 99% para la estimación de la diferencia entre los niveles salariales medios semanales de las dos empresas es

donde

Así, podemos afirmar que el salario promedio semanal de la primera empresa es mayor que el promedio de la segunda Empresa por un monto de entre $2.23 y $17.77, con una confianza de 99% en esta estimación por intervalo. Adviértase que los - tamaños de las muestras son suficientemente grandes para permitir el uso de Z para aproximar el valor t.

Además del intervalo de confianza de dos extremos, también puede elaborarse un intervalo de confianza de un extremo -ara la diferencia entre medias.

Distribución t e intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias

El uso de la distribución t en conjunción con una muestra es necesario cuando

1 ) Se desconocen las desviaciones estándar a de la población.

2) Las muestras son pequeñas (n < 30). Si las muestras son grandes, los valores t pueden ser aproximados por la normal estándar z.

3) Se supone que las poblaciones tienen una distribución aproximadamente normal (recuerde que el teorema central del límite no puede aplicarse en muestras pequeñas).

Además de lo anterior, cuando se usa la distribución t para definir intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias, no para inferencias sobre sólo una media poblacional, por lo general se requiere del siguiente supuesto adicional:

4) Las dos varianzas poblacionales (desconocidas) son iguales, a 21 = 22

A causa del anterior supuesto de igualdad, el primer paso para determinar el error estándar de la diferencia entre medias cuando procede el uso de la distribución t es combinar las dos varianzas muestrales:

El error estándar de la diferencia entre muestras basado en el uso de la varianza combinada estimada 2 es

Con gl = n1, + n2 - 2, el intervalo de confianza es

Intervalos de confianza para la proporción de la población

La distribución de probabilidad aplicable a las proporciones es la distribución binormial de probabilidad. No obstante, los cálculos matemáticos asociados con la determinación de un intervalo de confianza para una proporción poblacional desconocida con base en el proceso de Bemoulli son complejos. Por lo tanto, en todos los libros de texto orientados a aplicaciones se utiliza la distribución normal como aproximación de la solución exacta de intervalos de confianza para proporciones. Esta aproximación es adecuada cuando n  30 y tanto np como nq  5 (donde q = 1 - p). Sin embargo, cuando la proporción de la población p (o ) es desconocida, la mayoría de los expertos en estadística recomienda tomar una muestra de n  100. Nótese que, en el contexto de la estimación estadística,  es desconocida, pero es estimada por ^p.

La varianza de la distribución de proporciones sirve de base para el error estándar. Dada una proporción muestral observada, ^p, el error estándar de la proporción estimado es

En el contexto de la estimación estadística, la p (o ) de la población se desconoce, porque es justamente el valor por estimar. Si la población es por finitud, procede el uso del factor de corrección por finitud. Como en el caso del error estándar de la media, por lo general se considera innecesario el uso de esta corrección si n < 0.05 N.

El intervalo de confianza aproximado para una proporción poblacional es

Además del intervalo de confianza de dos extremos, también puede determinarse un intervalo de confianza de un extremo para la proporción poblacional.

Ejemplo. Una empresa de investigación de mercado contacta a una muestra aleatoria de 100 varones en una comunidad extensa y determina que una proporción muestral de 0.40 prefiere las navajas de afeitar fabricadas por el cliente de esa empresa sobre todas las demás marcas. El intervalo de confianza de 95% para la proporción de todos los varones de la comunidad que prefieren las navajas de afeitar del cliente de la empresa se determina de la siguiente manera:

Por lo tanto, con una confianza de 95% estimamos la proporción de todos los varones de la comunidad que prefieren las navajas del cliente de la empresa con un valor entre 0.30 y 0.50.

Medias y proporciones

Estimación de Parámetros

La teoría de muestreo puede emplearse para obtener información acerca de muestras obtenidas aleatoriamente de una población conocida. Sin embargo, desde un punto de vista práctico, suele ser más importante y ser capaz de inferir información acerca de una población a partir de muestras de ellas. Dichos problemas son tratados por la inferencia estadística que utiliza principios de muestreo. Un problema importante de la inferencia estadística es la estimación de parámetros poblacionales o simplemente parámetros (como la media y la varianza poblacionales), a partir de los estadísticos muéstrales correspondientes o estadísticos ( como la media y la varianza muestral.

Estimados sin Sesgo

Si la media de la distribución muestral de un estadístico es igual al parámetro poblacional correspondiente, el estadístico se denomina estimador sin sesgo del parámetro; de otra manera, es denominado estimador sesgado. Los valores correspondientes de dichos estadísticos se llaman estimados sin sesgo o sesgados, respectivamente.

1.- La media de la distribución muestral de las medias es x , la media poblacional. Por lo tanto, la media muestral x es un estimado sin sesgo de la media poblacional .

2.- La media de la distribución muestral de las varianzas es :

s2 = ( N-1/ N ) 2

donde 2 es

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