FASE DE OBSERVACION EDUCATIVA
SANCHEZ2712 de Julio de 2011
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El Teorema Fundamental del Cálculo
Indice
1. Introducción
2. Algunas Fórmulas generales para encontrar áreas e integrales.
3. La Integral como función del extremo superior
4. El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC).
5. Cálculo de integrales definidas mediante el TFC.
6. Corolario al Teorema Fundamental del Cálculo
7. La Integral Indefinida.
8. Tabla básica de Integrales
9. Ejercicios
1. Introducción.
El Teorema fundamental del Cálculo, como su nombre lo indica es un importante resultado
que relaciona el Cálculo Diferencial con el Cálculo Integral. En este capítulo se estudiarán
las bases que permiten diseñar técnicas para el cálculo de integrales.
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2. Algunas Fórmulas generales para encontrar áreas e integrales.
El mismo procedimiento que utilizamos para encontrar las integrales definidas en intervalos
[a, b] del capitulo anterior puede aplicarse en forma más general. Por ejemplo es posible
deducir ciertas fórmulas para predecir las áreas, por medio de las cuales se puede
determinar del área de cualquier región bajo una curva fácil y rápidamente.
Ejemplo 1. Utilizando sumas superiores encuentre ∫ x
t dt
0
2 , para x > 0
Solución. Dividamos el intervalo [0, x] en n partes iguales, cada una de longitud x/n.
Sobre cada uno de los subintervalos determinado por esta partición, tomamos como altura
la imagen del extremo derecho, por ser creciente la función.
La suma superior Sn nos queda como:
( )2 (2 )2 (3 )2 ... ( )2
n
nx
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
S x n = + + + +
( 1)(2 1)
6 6
(1 2 3 ... ) ( 1)(2 1)
3
3
3
2 2 2 2
3
3
n
n
n
n n n x n
n
n x
n
S x n
= + + + + = + + = + +
y el valor de la integral será:
3
(1)(2)
6
( 1)(2 1)
6
lim
3 3 3
0
2 x x
n
n
n
t dt x n
n
x
= + + = =
→∞ ∫
0, x/n 2x/n 3x/n . . . nx/n = x
es decir
3
3
0
t 2dt x
x
∫ =
Observación. Esta fórmula general nos permite encontrar rápidamente que:
9
3
0
∫ t 2dt = ,
3
5 125
0
∫ t 2dt = , y en particular
3
1 1
0
∫ t 2dt = ,
esta última calculada con sumas superiores e inferiores en el capítulo anterior.
Ejemplo 2. Utilizando sumas superiores encuentre que
4
4
0
t 3dt x
x
∫ = , para x >0
Solución. Se deja como ejercicio
Ejemplo 3. Utilizando sumas inferiores, encuentre ∫ −
x
t dt
0
(4 2 )
Solución. Por ser decreciente la función, las alturas serán las imágenes de los extremos
derechos de los intervalos. En la gráfica se muestra la función para un valor de x > 2
quedando la suma inferior como:
0, x/n 2x/n ...
nx/n = x
(4 ) (4 2 ) (4 3 ) ... (4 ) 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
n
n x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
S x n = − + − + − + + −
( 1)(2 1)
6
4
6
(4 ) (1 2 3 ... ) 4 ( 1)(2 1)
3
3
3
2 2 2 2
3
3
n
n
n
n n n x x n
n
n x x
n
n x
n
S x n
= − + + + + = − + + = − + +
y el valor de la integral será:
3
(1)(2) 4
6
( 1)(2 1) 4
6
(4 ) lim 4
3 3 3
0
2 x x x x
n
n
n
t dt x x n
n
x
− = − + + = − = −
→∞ ∫
es decir
3
(4 ) 4
3
0
t 2 dt x x
x
∫ − = −
Observación. De nuevo con esta fórmula general podemos encontrar integrales como:
3
(4 ) 11
1
0
∫ − t 2 dt = ,
3
(4 ) 16
2
0
∫ − t 2 dt = , (4 ) 3
3
0
∫ − t 2 dt = ,
3
(4 ) 16
4
0
∫ − t 2 dt = −
las dos primeras representando el área bajo la curva, por ser la función positiva en los
correspondientes intervalos de integración, no sucediendo lo mismo en las otras dos, en
cuyos intervalos la función toma valores positivos y negativos.
Ejemplo 4. Utilizando sumas superiores, encuentre ∫ x
sent dt
0
, para x ∈ [0, π/2]
Solución. Por ser creciente la función, las alturas serán las imágenes de los extremos
derechos de los intervalos, como se observa en la siguiente gráfica.
0, x/n 2x/n 3x/n . . . nx/n = x
Calculemos la suma superior correspondiente:
= ( ) + (2 ) + (3 ) +...+ ( )
n
sen nx
n
sen x
n
sen x
n
sen x
n
S x n
multiplicamos y dividimos el lado derecho por )
2
2 (
n
sen x , tenemos que:
= + + + )
2n
) sen( x
n
) ... 2sen(nx
2n
) sen( x
n
) 2sen(2x
2n
) sen( x
n
2sen(x
2sen(x / 2n)
S x / n n
utilizando la identidad trigonométrica 2senU senV = cos(U-V) - cos(U+V), obtenemos:
= − + − + + − − + )
2
) cos((2 1)
2
) ... cos((2 1)
2
) cos(5
2
) cos(3
2
) cos(3
2
cos(
2 ( / 2 )
/
n
n x
n
n x
n
x
n
x
n
x
n
x
sen x n
S x n n
cancelando:
= − + )
2
) cos((2 1)
2
cos(
( / 2 )
/ 2
n
n x
n
x
sen x n
S x n n
utilizando el hecho de que lim 1
0
=
→ senh
h
h
) 1(1 cos )
2
) cos((2 1)
2
cos(
( / 2 )
lim / 2
0
x
n
n x
n
x
sen x n
sent dt x n
n
x
− =
+
=
−
→∞ ∫
es decir
sent dt x
x
1 cos
0
∫ = −
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3. La Integral como función del extremo superior
Cada una de las fórmulas generales obtenidas puede considerarse como una función de la
variable x y por lo tanto es susceptible de analizarse con las herramientas del Cálculo
Diferencial, como la continuidad, límites, derivación, etc.
3
3
0
t 2dt x
x
∫ = ,
4
4
0
t 3 dt x
x
∫ = , sent dt x
x
1 cos
0
∫ = −
Algo en común que puede observarse en cada una de estas funciones es que son continuas,
derivables y además la derivada de cada una, es la función que se está integrando, es decir,
2
0
t 2dt x
dx
d x
∫ = , 3
0
t 3dt x
dx
d x
∫ = , sent dt senx
dx
d x
∫ = 0
,
Si le llamamos G(x) a la integral y f(t) al integrando, para estas integrales se cumple:
( ) ( ) '( ) ( )
0
G x f t dt G x f x
x
= ∫ ⇒ =
o bien
( ) ( )
0
f t dt f x
dx
d x
∫ =
Un poco más adelante demostraremos que salvo ciertas precisiones, lo anteriormente dicho
es válido para f continua y lo estableceremos como uno de los teoremas más importantes
del Cálculo, el que establece la relación entre los conceptos fundamentales de Derivada e
Integral.
Sea f:[a, b]→ R una función monótona y por lo tanto integrable.
Definimos G:[a, b]→ R como:
= ∫
x
a
G(x) f (t) dt
Si la función es positiva G(x) representa el área desde a hasta x.
La primera propiedad interesante de la integral como función es que si la función f es
integrable, entonces la función G es continua, pues intuitivamente podemos ver que si
variamos "un poco" la x, el valor de G(x) no cambia sensiblemente, aún cuando el
integrando no sea una función continua. Esto lo podemos apreciar en el siguiente
...