Figuras geométricas: EL TRIÁNGULO

1) Figuras geométricas: EL TRIÁNGULO

• CONTEXTO HISTÓRICO:

Desde la antigüedad se utilizaron las figuras geométricas, una de ellas es “EL TRIÁNGULO”. Por historia sabemos que el hombre primitivo a las puntas de sus herramientas de caza les daba forma triangular.

Los faraones tuvieron tumbas de forma de pirámide, cuyas caras tenían las formas de un triangulo.

Hoy en día, se aplican en diversos campos. Por ejemplo: en la arquitectura, ingeniería, topografía, etc.

Al hablar de triángulos, podemos mencionar la TRIGONOMETRÍA que proviene del griego "trígonos" (triángulo) y "metros" (metría).

Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.

El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas.

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

• CONSTRUCCIÓN:

Conocidos un lado y sus ángulos adyacentes

Construir un triángulo con un lado de 7 cm y ángulos adyacentes de 30° y 50°.

Dibujamos como base un segmento de 7 cm y sobre sus extremos, con la ayuda de un transportador de ángulos, dibujamos los ángulos señalados. Prolongando los lados de los ángulos, obtenemos el tercer vértice.

Conocidos dos lados y el ángulo comprendido

Construir un triángulo de lados 5 cm y 7 cm, siendo el ángulo comprendido de 40°.

Con el transportador dibujamos un ángulo de 40° y, sobre los lados del ángulo señalamos dos segmentos de 5 y 7 cm, respectivamente. Uniendo los extremos de los segmentos por un tercero, obtenemos el triángulo.

Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos

Construir un triángulo con dos lados de 7 y 5 cm, y un ángulo de 30° opuesto al lado pequeño.

Sobre un extremo del lado mayor dibujamos un ángulo de 30°. Con un compás de radio 5 cm, trazamos un arco desde el otro extremo que corta en dos puntos el lado del ángulo. Obtenemos de esta manera dos soluciones al problema: los triángulos ABC y ABD de la figura adjunta.

Conocidos los tres lados

Construir un triángulo de lados 3, 5 y 6 cm.

Desde los extremos del lado mayor trazamos dos circunferencias de radios 3 y 5 cm. El punto de corte nos da el tercer vértice.

• PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c

a > b - c

 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C =180º

 La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360°

a + b + c= 360°

 El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

α = A + B

α = 180º - C

 En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

 Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

• APLICACIÓN

Los triángulos rectángulos tienen propiedades especiales que nos permiten resolver una gran cantidad de situaciones geométricas y son la base de las identidades trigonométricas. A partir de un triangulo rectángulo se definen los senos, cosenos tangentes (y sus inversas).

Estas funciones a su vez tienen amplias aplicaciones en la física, porque describen fenómenos físicos como la corriente alterna, el movimiento ondulatorio, (péndulo), ondas electromagnéticas etc.

Tienen aplicaciones en muchas ramas de las ciencias y la vida cotidiana, sirve para saber alturas de montañas, edificios o cualquier construcción, distancias, anchuras de ríos y lagos, en fin, toda aplicación que tenga que ver con longitudes.

Ahora bien, dentro de los triángulos podemos encontrar la clasificación según sus lados. Ellos son:

o Escaleno: 3 lados desiguales.

o Isósceles: 2 lados iguales y uno desigual.

o Equilátero: 3 lados iguales.

También se clasifican según sus ángulos:

o Acutángulo: tienen TRES ángulos agudos.

o Rectángulo: tienen UN ángulo recto.

o Obtusángulo: tienen UN ángulo obtuso.

En el caso de los triángulos rectángulos, estos poseen propiedades que ayudan a los ingenieros a construir puentes, edificios, en fin. Su uso también es en distancias, por ejemplo el de barcos en el mar, otros como el reloj de Sol, en la pintura, en arquitectura, etc.

Los triángulos son herramientas eficaces para la arquitectura y se utilizan en el diseño de los edificios y otras estructuras, ya que proporcionan resistencia y estabilidad. Cuando se utilizan materiales de construcción para formar un triángulo, el diseño tiene una gran base y el pináculo de la parte superior es capaz de administrar el peso porque la energía se distribuye a través de todo el triángulo.

El triángulo de uso en la arquitectura data de hace más años que otras formas comunes como el domo, arco, cilindro, e incluso es anterior a la rueda. Los más resistentes son los triángulos equiláteros y los isósceles; su simetría ayuda a distribuir peso.

El triángulo equilátero es el más común usado en arquitectura. Un triángulo equilátero tiene tres lados congruentes y ángulos de 60 grados en cada esquina. La longitud de los lados varía. Un ejemplo común de triángulos equiláteros en arquitectura es el complejo de las pirámides de Gizah en Egipto. Cada uno de los cuatro lados triangulares que forman las pirámides son triángulos equiláteros. Estos son ejemplos de la fortaleza del triángulo en la arquitectura, ya que las pirámides se mantienen en pie desde hace más de 4000 años.

Los triángulos son también utilizados como adornos en la arquitectura, no sólo en el diseño fundacional. En las iglesias, las ventanas triangulares generalmente se presentan como los marcos de las ventanas o en los vidrios teñidos, posiblemente representando a la Santísima Trinidad. La Torre Hearst en Manhattan usa marcos triangulares para agregar un soporte adicional a la torre y enmarcar la estructura de vidrio de la ventana; se utilizan ambos triángulos, el isósceles y el equilátero.

2) Funciones de 1° y 2° grado.

• EXPRESIÓN ALGEBRAICA:

FUNCIÓN DE 1° GRADO: Son todas aquellas en las cuales los términos "x" y "y" aparecen todos elevados a potencia 1; y además sus gráficas son siempre líneas rectas en el plano cartesiano.

Por ejemplo: f(x)=2x+4

f(x)=3x+6

f(x)=5x+10

FUNCIÓN DE 2° GRADO: Son aquellas en las cuales aparece sólo una variable, la "x", elevada al cuadrado, la "y" no. Sus gráficas son siempre parábolas.

Por ejemplo:

f(x)=2x2+4x+3

f(x)=6x2+9x+3

• REPRESENTACIÓN GRÁFICA:

FUNCIÓN DE 1° GRADO:

Toda función y=f(x) tiene una representación gráfica. De manera que, la gráfica de una función de primer grado es una recta:

o Para representar una función gráficamente hay una serie de pasos que seguir:

a) Calcular el dominio

El dominio de una función está formado por aquellos valores de x (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x).

Para todas las funciones polinómicas, el dominio siempre es el conjunto de los números reales. Dom (f(x)) = {R}

b) Obtener los puntos donde la función corta los ejes de coordenadas

Para obtener los puntos de corte de la función con el eje de abscisas (X), hay que hacer que y sea igual a 0.

Para obtener los puntos de corte de la función con el eje de ordenadas (Y), hay que hacer que x sea igual a 0.

Toda función de primer grado es de la forma: y = Ax + B

c) Dibujar la gráfica.

Una vez tenemos dos puntos, dibujar la gráfica es inmediato, ya que es la recta que une ambos puntos.

FUNCIÓN DE 2° GRADO:

La gráfica de una función de segundo grado es una parábola.

La gráfica de las funciones polinómicas de segundo grado es una parábola de eje vertical. La parábola y=ax2

Observa en la figura cómo se construye la gráfica de f(x)=a•x2 y como cambia según los valores y el signo de a.

Es simétrica respecto al eje OX.

El signo de a determina la concavidad de la gráfica.

• Si a>0, tiene un mínimo en (0,0)

• Si a<0 tiene un máximo en (0,0)

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