Geometria De La Vida

LINEA

Es un término con múltiples usos. Se trata, para la geometría, de una sucesión continua e indefinida de puntos en la sola dimensión de la longitud. Por ejemplo: “Quiero que tracen una línea que pase por la intersección de los dos lados iguales del triángulo”, “Mi maestra me pidió que dibuje dos líneas paralelas”.

Una línea también es una raya en un cuerpo cualquiera: “¿Qué es esa línea que tiene el mueble de la cocina?”, “Por suerte apenas fue un roce: el accidente me dejó sólo una línea en la puerta trasera izquierda”.

Se conoce como línea, por otra parte, a la forma, perfil, silueta o figura, tanto de un ser humano como de un objeto: “Voy a hacer gimnasia para mantener la línea”, “En las vacaciones perdí la línea ante tantos banquetes”, “Estoy fascinado con la línea moderna de este coche”.

Las series horizontales de números que componen el cartón del bingo, la disponibilidad de la comunicación telefónica, el grupo de jugadores que ocupan una posición semejante en el campo de juego de ciertos deportes, el servicio regular de transporte que realiza un itinerario determinado y la clase o género de artículos comerciales también reciben el nombre de línea.

SEGMENTOS

Es la parte de una recta comprendida entre dos puntos. Desde el punto de vista geométrico, una recta está compuesta por infinitos segmentos e infinitos puntos; el segmento, en cambio, es un fragmento de recta que une dos puntos.

Los segmentos son consecutivos cuando tienen en común sólo un extremo. Si pertenecen a la misma recta se denominan segmentos colineales, de lo contrario reciben el nombre de segmentos no colineales.

Para la lingüística, un segmento es un signo o conjunto de signos que puede aislarse de la cadena oral a través de una operación de análisis.

ANGULOS

Cuando dos rectas se encuentran y forman cuatro religiones llamadas ángulos. Cada ángulo esta limitado por dos lados y un vértice.

Es la abertura entre dos lados, los cuales tienen un punto común llamado vértice.

El lado desde el cual se empieza a medir el ángulo se llama Codo Inicial, y aquel donde se termina se llama Lado Terminal.

Tipos de Ángulos

Angulo Convexo: Se llama ángulo convexo R N M a la intersección del semiplano de borde NM, que contiene el punto R, y el semiplano de borde NR, que contiene el punto N.

Angulo Cóncavo: Es el ángulo que se obtiene si consideramos la unión de los semiplanos anteriores.

Ángulos Consecutivos: Son los pares de ángulos que tienen un lado común y ningún otro punto mas.

Ángulo Llano: Cuando los lados de un ángulo son dos semirrectas de una misma recta, el ángulo se llama llano.

Ángulos Rectos: Sean dos semirrectas de origen de un origen común O y supongámoslas prolongadas hasta formar dos rectas, a y b, que se cortan en O y que dividen al plano en 4 regiones a, b, c y d, cada una de ellas correspondiente a un ángulo. Cuando esos cuatro ángulos son iguales, se dice que cada uno de ellos es un ángulo recto y que sus lados son perpendiculares.

Ángulos Oblicuos: Las rectas que se cortan formando ángulos desiguales se llaman oblicuos. A estos ángulos que no son rectos se les llaman oblicuos.

• Agudos: Si son menores que un recto.

• Obtusos: Si son mayores que un recto.

MEDIDA DE ANGULOS

Para medir ángulos se emplean fundamentalmente dos sistemas: el que utiliza como unidad el grado sexagesimal y el que utiliza como unidad el radián.

Medición de ángulos

Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma por unidad de medida. Para medir los ángulos existen varios sistemas, siendo los más conocidos el sistema sexagesimal y el circular.

Sistemas de medidas angulares

Sistema Sexagesimal: en éste sistema la unidad de medida es el grado sexagesimal que corresponde a que se abrevia 1°; éste a su vez se divide en 60 partes iguales y corresponde a un minuto sexagesimal que se abrevia; éste a su vez se divide en 60 partes iguales y corresponde a un segundo sexagesimal que se abrevia.

Sistema Circular: en éste sistema la unidad de medida es el radian.

¿Qué es el radian?: El radian es un ángulo central que tiene como lados 2 radios de una circunferencia, cuyo arco es igual al radio de la circunferencia al cual pertenece.

Equivalencia entre los sistemas

Ángulos Complementarios: Son los que miden 90º.

Ángulos Suplementarios: Son los que miden 180º

LONGITUD DE ARCO

Si ө es un ángulo central que mide un radian entonces la longitud del arco subtendido es igual al radio (r). Donde r es la longitud del radio.

Cuando en ángulo Ө mide 2 radianes, entonces la longitud del arco subtendido mide 2 r.

De manera general si el ángulo mide + radianes entonces la longitud de arco subtendido mide + r.

TRIÀNGULOS

Es la figura que consta de tres lados, tres ángulos y tres vértices.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS:

Por sus Lados

Triangulo Equilátero:

Si tiene sus tres lados iguales.

Triangulo Isósceles:

Si tiene dos lados iguales.

Triangulo Escaleno:

Si sus tres lados son desiguales.

Por sus Ángulos

Triangulo Acutángulo:

Es el que tiene sus tres ángulos agudos.

Triangulo Rectángulo:

Es el que tiene un ángulo recto.

Triángulo Obtusángulo:

Es el que tiene un ángulo obtuso.

Los lados de un triangulo rectángulo reciben nombres especiales:

Catetos: Son los dos lados que forman el ángulo recto.

Hipotenusa: Es el lado opuesto al ángulo recto.

Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u obtuso. Si los tres ángulos son agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene un ángulo recto, rectángulo y obtusángulo si el mayor de sus ángulos es obtuso.

Triángulos Rectángulos

Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus lados.

Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

a2 = b2 + c2

Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir,

c2 = a • m, b2 = a • n

TEOREMA RELATIVO A LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERNOS DE UN TRIÀNGULO

"La suma de las medidas de los tres ángulos internos de un triángulo cualquiera es siempre igual a 180º"

Dem. Grafiquemos un triángulo cualquiera

Demostraremos que:

a + b + c = 180º

Primeramente trazamos una recta paralela al segmento

, como se muestra a continuación

Podemos observar que:

• d + c + f = 180º

TEOREMA RELATIVO A LA SUMA DE LOS ANGULOS EXTERNOS DE UN TRIANGULO

"La suma de las medidas de los 3 ángulos externos de un triangulo cualquiera siempre es igual a 360º

Dem:

• d + e + f = 360º

•

Obsérvese que:

d + a = 180º Por ser

e + b = 180º ángulos

f + c = 180º suplementarios

SEMEJANZA DE TRIANGULOS

Relación entre dos figuras geométricas que tienen la misma forma, aunque distinto tamaño. Entre los elementos (puntos, rectas, ángulos,…) de esas dos figuras se establece una relación por la que cada elemento f le corresponde otro de f´

Dos figuras semejantes f y f´ cumplen con las siguientes relaciones métricas:

Proporcionalidad de Segmentos: entre dos figuras semejantes, los pares de segmentos correspondientes son proporcionales. Si A, B, C son puntos de f y A’, B’, C’ los correspondientes puntos de f entonces se cumple que:

La razón de proporcionalidad K se llama razón de semejanza. Por ejemplo, entre dos figuras semejantes cuya razón de semejanza es 2, cada segmento de la primera es de longitud doble que el correspondiente segmento de la segunda.

Razón de dos Segmentos de Recta: Es el cociente de sus longitudes.

Encontrar el valor de X

Si y solo si 3X = 4(6)

3X = 24

X = 24 = 8

3

La razón de a es = =

Proporción:

Es la igualdad de dos razones.

Igualdad de Ángulos:

Entre dos figuras semejantes, los ángulos correspondientes son iguales.

Si A, B, C son puntos de f y A´, B´, C´, los correspondientes puntos de f, entonces se cumple que:

Relación entre Volúmenes:

El cociente entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de la razón de la semejanza.

Dos polígonos son semejantes si sus lados son proporcionales y sus ángulos respectivamente iguales.

Para saber que dos triángulos son semejantes basta comprobar que se cumple alguna de las condiciones siguiente llamadas criterios o casos de semejanza de triángulos.

Criterio 1: Tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales.

Criterio 2: Tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman.

Criterio 3: Tienen

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