Gráfica de varias funciones potencia,función cuadrática y función cúbica.
didierway12Documentos de Investigación27 de Octubre de 2015
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Potenciación
[pic 1]
Gráfica de varias funciones potencia,función cuadrática y función cúbica.
La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero.
Definición[editar]
Se llama potencia a una expresión de la forma [pic 2], donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente.
Exponente entero[editar]
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:
(1)[pic 3]
Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.
Multiplicación de potencias de igual base[editar]
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:
[Expandir][pic 4] |
Ejemplos:
[pic 5]
Potencia de una potencia[editar]
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
[Expandir][pic 6] |
Debido a esto, la notación [pic 7] se reserva para significar [pic 8] ya que [pic 9] se puede escribir sencillamente como [pic 10].
Potencia de un producto[editar]
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:
[Expandir][pic 11] |
Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:
[Expandir][pic 12] si n es par. [pic 13]si n es impar. |
Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que [pic 14], entonces este se denota por [pic 15] y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:
(2)[pic 16]
Observación
[pic 17]
División de potencias de igual base[editar]
El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor ,1esto es:
[Expandir][pic 18] |
Ejemplo:
[pic 19]
Potencia de exponente 0[editar]
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:2 3
[pic 20]
El caso particular de [pic 21], en principio, no está definido [cita requerida] (ver cero).
Potencia de un cociente[editar]
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.
[Expandir][pic 22] |
Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo [pic 23], por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:
[pic 24]
[pic 25]
Exponente racional[editar]
Artículo principal: Radicación
La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo [pic 26], de manera que [pic 27], pero se ha de garantizar que dicha x sea un número real y esto sólo se puede garantizar para toda n si la base a es un número real positivo, por lo que existe un teorema que dice:
Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva. |
Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:
(3)[pic 28]
Observación
[pic 29]
En general para las fracciones se define que:
(4)[pic 30]
Relación
[Expandir][pic 31] [pic 32] |
Propiedades[editar]
[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
Exponente real[editar]
Artículos principales: Exponenciación y Logaritmo.
La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se recoge en el siguiente teorema:
Dado un número real positivo a y una sucesión de números racionales [pic 36] que tiene límite b, entonces existe el límite de la sucesión [pic 37] que se escribe como: [pic 38] |
Nótese que las sucesivas aproximaciones de ab tienen como exponente números racionales, con lo que para que la definición sea consistente, se exige que a sea un número real positivo.
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