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Sius19 de Septiembre de 2011
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Circuito LC. Oscilaciones libres
El equivalente mecánico del circuito LC son las oscilaciones de un sistema formado por una masa puntual unida a un muelle perfectamente elástico. El equivalente hidráulico es un sistema formado por dos vasos comunicantes.
En primer lugar, estudiamos las oscilaciones que se producen en un circuito LC
En la figura de la derecha, se muestra el circuito cuando el condensador se está descargando, la carga q disminuye y la intensidad i aumenta. La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad.
La ecuación del circuito es
Vab+Vba=0
Como i=-dq/dt, ya que la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
Esta es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de frecuencia angular propia o natural
Carga:
La solución de la ecuación diferencial es
q=Q·sen(0t+ ),
donde la amplitud Q y la fase inicial se determinan a partir de las condiciones iniciales, la carga del condensador q0 y la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito i0 en el instante inicial t=0.
Intensidad:
Derivando la expresión de la carga q obtenemos la intensidad i
i=dq/dt=Q·0 ·cos(0t+ )
Energía:
La energía del circuito en el instante t es la suma de la energía del campo eléctrico en el condensador y la energía del campo magnético en la bobina.
Se puede fácilmente comprobar que la suma de ambas energías es constante e independiente del tiempo.
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Las figuras representan el estado del oscilador cada cuarto de periodo.
En un instante inicial el condensador está completamente cargado con una carga Q. Toda la energía está acumulada en el condensador en forma de campo eléctrico.
El condensador se empieza a descargar, la intensidad aumenta, en la bobina se produce una fem autoinducida que se opone al incremento de intensidad. Al cabo de un cuarto de periodo, se alcanza la intensidad máxima i=Q·0
La intensidad empieza a disminuir, en la bobina se produce una fem que se opone a que la intensidad disminuya. El condensador se empieza a cargar, el campo en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, el condensador ha adquirido la carga máxima Q, y la intensidad en la bobina se ha reducido a cero.
Ahora comienza de nuevo a descargarse el condensador, la intensidad aumenta, el campo en la bobina cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, la intensidad alcanza su valor máximo (en valor absoluto).
La intensidad decrece, el condensador empieza a cargarse, el campo eléctrico en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, se ha alcanzado la situación inicial de partida.
Circuito LCR. Oscilaciones amortiguadas.
Las oscilaciones libres no se producen en un circuito real ya que todo circuito presenta una resistencia.
En la figura de la derecha, se muestra el circuito cuando el condensador se está descargando, la carga q disminuye y la intensidad i aumenta. La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad.
La ecuación del circuito es
Vab+Vbc+Vca=0
Como i=-dq/dt, ya que la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
La solución de la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas es
donde la amplitud Q y la fase inicial se determinan a partir de las condiciones iniciales, la carga del condensador q0 y la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito i0 en el instante inicial t=0.
En las oscilaciones amortiguadas, la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. La carga máxima del condensador va disminuyendo. La energía del sistema disminuye debido a que se disipa en la resistencia por efecto Joule.
Se presentan dos casos particulares:
Cuando =0, entonces la frecuencia de la oscilación =0, se denomina oscilación crítica
Cuando >0, entonces la frecuencia de la oscilación es un número imaginario, y se denomina oscilación sobreamortiguada.
Es fácil encontrar las relaciones que debe cumplir la capacidad C, resistencia R, y autoinducción L del circuito, para que se presenten los distintos casos de oscilación
Amortiguadas
Críticas
Sobreamortiguadas
Circuito LCR conectado a un fem alterna. Oscilaciones forzadas
Las oscilaciones amortiguadas desaparecen al cabo de cierto tiempo, para mantener la oscilación en el circuito podemos conectarla a una fem alterna de frecuencia .
La ecuación del circuito es
Vab+Vbc+Vcd+Vda=0
Como i=-dq/dt, si la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
Oscilaciones Eléctricas
Circuito LC
El equivalente mecánico del circuito LC (L: Inductancia, C: Capacitancia) son las oscilaciones de un sistema masa-resorte.
En primer lugar, se estudiará las oscilaciones que se producen en un circuito LC (Figura 1),
La diferencia de potencial entre las placas de un condensador es igual a,
Para aplicar la ley de Kirchoff de las mallas, es necesario adoptar una convención para el signo de esta diferencia de potencial. Para comprender esto, se debe pensar que es claro que transportar una carga positiva desde la terminal negativa a la terminal positiva debe representar un aumento en la energía potencial del circuito, es decir la diferencia de potencial es positiva. Recorrer el condensador en la dirección opuesta daría lugar a una disminución de la energía potencial, es decir una diferencia de potencial negativa. En el caso de la situción instantánea de la Figura 1, debe deducirse que para el sentido de corriente ilustrado,
.
Para el caso de la diferencia de potencial en la bobina de inductancia L, se tiene que,
ya que la inductancia en la bobina es una medida de la inercia de éste; es decir a mayor inductancia, será más complicado cambiar la corriente que circula en el circuito. Si la corriente va en aumento,
y
,
lo que corresponde a una caída de potencial entre a y b a través del inductor. Por esta razón, el punto a tiene mayor potencial que el punto b, como se ilustra en la Figura 1.
Aplicando la ley de las mallas de Kirchoff,
se obtiene,
Como i=dq/dt , llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden,
Esta ecuación diferencial describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de frecuencia angular propia o natural,
La solución de la ecuación diferencial es,
donde la amplitud Q y la fase inicial se determinan a partir de las condiciones iniciales: la carga del condensador q y la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito dq/dt en el instante inicial t =0.
La energía del circuito en el instante t es la suma de la energía almacenada en campo eléctrico en el condensador más la energía almacenada en el campo magnético en la bobina,
La energía almacenada en la bobina tiene "naturaleza" de energía cinética, y la almacenada en el condensador, tiene "naturaleza" de energía potencial. Esto se concebirá con mayor claridad un poco más adelante, donde se hará una analogía mecano-eléctromagnética entre un sistema masa-resorte y un circuito oscilante LC.
Una breve descripción de este proceso cada cuarto de período, es la siguiente,
Inicialmente el condensador está completamente cargado con una carga Q . Toda la energía está almacenada en el campo eléctrico existente entre las placas del condensador
El condensador se empieza a descargar, la corriente aumenta y en la bobina se produce una fem (fuerza electromotriz) autoinducida que se opone al incremento de la corriente. Al cabo de un cuarto de periodo, se alcanza la corriente má xima,
La corriente empieza a disminuir y en la bobina se produce una fem que se opone a que la corriente disminuya. El condensador se empieza a carga y, el campo entre las placas del condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, el condensador ha adquirido la carga máxima Q , y la corriente en la bobina se ha reducido a cero.
Ahora comienza de nuevo a descargarse el condensador, la corriente aumenta, el campo en la bobina cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, la corriente alcanza su valor máximo.
La corriente decrece, el condensador empieza a cargarse, el campo eléctrico entre las placas del condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, se ha alcanzado la situación inicial.
Circuito RLC. Oscilaciones amortiguadas
Las oscilaciones libres no se producen en un circuito habitual ya que todo circuito presenta una resistencia.,
Figura 2
Aplicnado la ley de las mallas de Kirchoff,
por tanto,
Como i=dq/dt ,
que corresponde a la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas , cuya solución es,
con, y .
donde la amplitud Q y la fase inicial se determinan a partir de las condiciones iniciales: la carga del condensador q y la intensidad de la corriente eléctrica dq/dt en el circuito en el instante inicial t =0.
En las oscilaciones amortiguadas la amplitud
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