Preguntas generadoras Estadistica

PREGUNTAS GENERADORAS

1. ¿EXPLIQUE EL CONCEPTO DE MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL?

Son indicadores estadísticos que resumen todos los datos en un solo número, han sido obtenidos atraves de fórmulas y se utilizan generalmente para variables cuantitativas, por lo tanto son valores que se presentan a un conjunto de datos.

Son llamados tendencia central ya que se ubican generalmente en el centro de la distribución de los datos.

Principales medidas de tendencia central:

- Media Aritmética

- Mediana

- Moda

Este tipo de medidas nos permiten identificar y ubicar el punto (valor) alrededor del cual se tienden a reunir los datos (“Punto central”). Estas medidas aplicadas a las características de las unidades de una muestra se les denomina estimadores o estadígrafos; mientras que aplicadas a poblaciones se les denomina parámetros o valores estadísticos de la población. Los principales métodos utilizados para ubicar el punto central son la media, la mediana y la moda.

El propósito de las medidas de tendencia central es:

- en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo.

- Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central o típico.

- Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones.

- Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos.

1. ¿CUÁLES SON LAS CARACTERÍSTICAS Y USOS DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL?

MEDIA ARITMÉTICA

• Es una medida totalmente numérica o sea sólo puede calcularse en datos de características cuantitativas.

• En su cálculo se toman en cuenta todos los valores de la variable.

• Es lógica desde el punto de vista algebraico.

• La media aritmética es altamente afectada por valores extremos.

• No puede ser calculada en distribuciones de frecuencia que tengan clases abiertas.

• La media aritmética es única, o sea, un conjunto de datos numéricos tiene una y solo una media aritmética.

MEDIANA

• En su cálculo no se incluyen todos los valores de la variable.

• La Mediana no es afectada por valores extremos. Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia con clases abiertas.

• No es lógica desde el punto de vista algebraico.

MODA

• En su cálculo no se incluyen todos los valores de la variable.

• El valor de la moda puede ser afectado grandemente por el método de designación de los intervalos de clases.

• No está definida algebraicamente.

• Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia que tengan clases abiertas.

• No es afectada por valores extremos.

MEDIA GEOMÉTRICA

• Se toman en cuenta todos los valores de la variable

• Es afectada por valores extremos aunque en menor medida que la media aritmética.

• La media geométrica de un número y su recíproco será siempre igual a uno.

• No puede ser calculada en distribuciones con clase abiertas.

• Es mayormente usada para promediar tazas de cambio, razones y valores que muestren una progresión geométrica.

USO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Cuál será la medida de tendencia central que se debe usar, teniendo un conjunto de observaciones?, para responder a este cuestionamiento, se debe tomar en cuenta la necesidad de considerar dos factores muy importantes uno es la escala de medición, que tiene que ser ordinal o numérica; y otra, la forma de distribución de las observaciones, porque se tiene que saber si la distribución de las observaciones se desvía a la izquierda o a la derecha de la media. Si hay observaciones distantes en una sola dirección se trata de una distribución sesgada. Si los valores distantes son pequeños se sesga a la izquierda, sesgo negativo. Si los valores distantes son grandes se sesga a la derecha, sesgo positivo

izquierda derecha

sesgo negativo sesgo positiv

3. ¿EXPLIQUE LOS CONCEPTOS DE MODA, MEDIANA, MEDIA ARITMÉTICA, MEDIA PONDERADA, MEDIA GEOMÉTRICA Y MEDIA ARMÓNICA?

MODA: Es una medida de posición que sacrifica una mayor cantidad de información que la mediana. Su resultado es mas general y en algunos caso poco útil. Es definida como aquel valor de la variable que mas se repite, es decir que tiene la máxima frecuencia de la distribución. Se simboliza por Md, siendo igual a Xj.

MEDIANA: Es aquel valor de la variable que divide la frecuencia total en dos partes iguales, es decir, aquel valor de la variable que supera y la vez es superado por más de la mitad de las observaciones en un conjunto ordenado ´´la mediana es el valor central´´.

Se le considera como una medida de tendencia central, la que se localiza en el centro, superando la mitad y siendo superada por la otra mitad de las observaciones. Este promedio es menos importante que la media aritmética y su cálculo es un poco más complicado, ya que en cada situación en particular debe aplicarse una determinada formula, tan rígida que no admite tratamiento algebraico alguno, pero presenta la ventaja de no ser afectada por cambios que se le hagan a la variable, manteniendo su ordenamiento, aun cuando existan valores demasiado grandes.

Para la determinación de la median no se requiere conocer el valor de todos los datos; solo es preciso saber cual es la observación central y que los valores restantes, mitad de ellos sean menores y la otra mitad mayore que este. También se puede aplicar en datos incompletos, por ejemplo, en aquellas distribuciones cuya variable tiene valores extremos no definidos con intervalos titulados ´´menos de´´ o ´´más de ´´.

Es el valor medio en un conjunto de valores ordenados. Corresponde al percentil 50 o segundo cuartil (P50 o Q2). Los pasos son:

1. Ordena los valores en orden del menor al mayor

2. Cuenta de derecha a izquierda, o al revés, hasta encontrar el valor o valores medios.

Ejemplo: tenemos el siguiente conjunto de números 8,3,7,4,11,2,9,4,10,11,4 ordenamos: 2,3,4,4,4,7,8,9,10,11,11 En esta secuencia la mediana es 7, que es el número central. Y si tuviésemos: 8,3,7,4,11,9,4,10,11,4, entonces ordenamos: 3,4,4,4,7,8,9,10,11,11 y la mediana (Md) está en: los números centrales son 7 y 8, lo que haces es sumar 7 + 8 y divides entre 2 y Md= 7.5.

Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:

1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.

2. Utilizando los datos agrupados.

MEDIA ARITMÉTICA: En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muéstrales.

Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.

Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observación (persona) tuviera la misma cantidad de la variable.

También la media aritmética puede ser denominada como centro de gravedad de una distribución, el cual no está necesariamente en la mitad.

Una de las limitaciones de la media aritmética es que se trata de una medida muy sensible a los valores extremos; valores muy grandes tienden a aumentarla mientras que valores muy pequeños tienden a reducirla, lo que implica que puede dejar de ser representativa de la población.

Dados los n números , la media aritmética se define como:

Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:

Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media de una muestra ( ), mientras que la letra µ (mu) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.

En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido por n: donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística el número de datos se da el resultado

MEDIA PONDERADA: La media ponderada es una medida de tendencia central, que es apropiada cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa (o peso) respecto de los demás datos. Se obtiene del cociente entre la suma de los productos de cada dato por su peso o ponderación y la suma de los pesos.

Para una serie de datos no vacía

a la que corresponden los pesos

la media ponderada se calcula de la siguiente manera

Un ejemplo es la obtención de la media ponderada de las notas en la que se asigna distinta importancia (peso) a cada una de las pruebas de que consta el examen. Así, se multiplicaría cada nota por su correspondiente peso y el resultado obtenido se divide entre la suma de los pesos asignados.

Ejemplo

Datos:

Pesos:

Media Ponderada:

MEDIA GEOMÉTRICA: La media geométrica de n cantidades pòsitivas es la raíz positiva enésima del producto de dichas cantidades. Se simboliza Mg, Mo, G y es aplicada en todos aquellos casos en los que la variable muestra un crecimiento geométrico, como en el de la población de un país o el de un capital colocado a una tasa de interés compuesto, es decir con tendencia exponencial. Siguiendo el procedimiento de explicación para los anteriores promedios.

Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es

Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería

MEDIA ARMÓNICA: Denominada H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

Así, dados n números x1, x2, ... , xn la media armónica será igual a:

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.

La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

3. ¿A QUÉ SE REFIEREN LOS CONCEPTOS DE DECIL, PERCENTIL Y CUARTIL EN ESTADÍSTICA?

Los cuantiles suelen usarse por grupos que dividen la distribución en partes iguales; entendidas estas como intervalos que comprenden la misma proporción de valores. Los más usados son:

• Los Cuartiles, que dividen a la distribución en cuatro partes (corresponden a los cuantiles 0.25, 0.50 y 0.75);

• Los Quintiles, que dividen a la distribución en cinco partes (corresponden a los cuantiles 0.20, 0.40, 0.60 y 0.80) ;

• Los Deciles, que dividen a la distribución en diez partes;

• Los Percentiles, que dividen a la distribución en cien partes.

CUARTILES

Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales. Aparecen citados en la literatura científica por primera vez en 1879 por D. McAlister.1

La diferencia entre el tercer cuartil y el primero se conoce como rango intercuartílico. Se representa gráficamente como la anchura de las cajas en los llamados diagramas de cajas.

Dada una serie de valores X1,X2,X3 ...Xn ordenados en forma creciente, podemos pensar que su cálculo podría efectuarse:

• Primer cuartil (Q1) como la mediana de la primera mitad de valores;

• Segundo cuartil (Q2) como la propia mediana de la serie;

• Tercer cuartil (Q3) como la mediana de la segunda mitad de valores.

Pero esto conduce a distintos métodos de cálculo de los cuartiles primero (así como tercero) según la propia mediana se incluya o excluya en la serie de la primera (respecto de la segunda) mitad de valores.

Cálculo con datos no Agrupados

No hay uniformidad sobre su cálculo. En la bibliografía se encuentran hasta cinco métodos que dan resultados diferentes.2 Uno de los métodos es el siguiente: dados n datos ordenados,

• El primer cuartil:

(n+1)/4

• Para el tercer cuartil:

3(n+1)/4

PERCENTILES

Se representan con la letra P. Para el percentil i-ésimo, donde la i toma valores del 1 al 99. El i % de la muestra son valores menores que él y el 100-i % restante son mayores.

Aparecen citados en la literatura científica por primera vez por Francis Galton en 18853

• P25 = Q1.

• P50 = Q2 = mediana.

• P75 = Q3.

Cálculo con datos no Agrupados

Un método para establecer un percentil sería el siguiente: Calculamos...

donde n es el número de elementos de la muestra e i, el percentil. El resultado de realizar esta operación es un número real con parte entera E y parte decimal D. Teniendo en cuenta estos dos valores, aplicamos la siguiente función:

Esta última operación brinda el valor del percentil pedido.

5. CON BASE EN LA TABLA DE FRECUENCIAS DETERMINE LA MEDIA, MODA Y MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS.

• MODA

DATOS SIN AGRUPAR

Apliquemos la moda en los datos siguientes: 6,8,6,10,5 observamos que el 6 es el valor de la variables que más se repite, por lo tanto: Xj=Md=6.

Consideremos otro conjunto de seis observaciones, cuyos valores son 6,8,6, 10,5,10. Se presentan dos valores de la variable con igual número de repetición, 6 y 10. En este caso hay dos modas, luego se dice que la distribución es bimodal.

Cuando ningún valor se repite más de una vez, puede afirmarse que no hay moda. Si un solo valor de la variable se repite mas veces que los demás, será unimodal; si hay más de dos modas, será plurimodal.

DATOS AGRUPADOS

Así como se calculó la moda, en datos no agrupados, es una forma simple e inmediata, casi por simple observación y sin formula alguna, podemos proceder igual en datos agrupados, tanto para la variable discreta como para la continua. En este último debe ser calculada utilizando las marcas de clase y solo cuando la amplitud del intervalo sea constante; cuando no lo sea, es preferible aplicar otra medida diferente.

En la tabla que se presenta a continuación, se han calculado las modas en cada una de las distribuciones, siendo Md = 3 en la variable discreta y Md =55,5 en la variable continua, utilizando para ello las marcas de clase.

Xi fi

Md

0

1

2

3

4

5

6 3

7

10

15

8

5

2

Md=xj=3

nj

50

Variable discreta

Xi fi

Md

35,5

40,5

45,5

50,5

55,5

60,5

65,5 3

5

7

9

15

9

2

Md=xj=55,5

nj

50

Variable continúa

MEDIA

DATOS AGRUPADOS

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

Ejercicio de media aritmética

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

xi fi xi • fi

[10, 20) 15 1 15

[20, 30) 25 8 200

[30,40) 35 10 350

[40, 50) 45 9 405

[50, 60 55 8 440

[60,70) 65 4 260

[70, 80) 75 2 150

42 1 820

MEDIANA

Datos sin agrupar

Sean los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como , distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: .

Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: , , , , => El valor central es el tercero: . Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo ( , ) y otros dos por encima de él ( , ).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones y . Es decir: .

Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: , , , , , => Hay dos valores que están por debajo del y otros dos que quedan por encima del siguiente dato . Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos:

Ejemplos para datos sin agrupar

Ejemplo 1: Cantidad (N) impar de datos

xi fi Ni

1 2 2

2 2 4

3 4 8

4 5 13

5 8 21 > 19.5

6 9 30

7 3 33

8 4 37

9 2 39

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase vienen dada por la siguiente tabla:

Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Número de alumnos 2 2 4 5 8 9 3 4 2

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas . Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, se obtiene .

• Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar. En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

Ejemplo 2: Cantidad (N) par de datos

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase vienen dada por la siguiente tabla (debajo):

Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Número de alumnos 2 2 4 5 6 9 4 4 2

xi fi Ni+w

1 2 2

2 2 4

3 4 8

4 5 13

5 6 19 = 19

6 9 28

7 4 32

8 4 36

9 2 38

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas . Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n par, se obtiene Formula: (Donde n= 38 alumnos divididos entre dos).

• Ni-1< n/2 < Ni = N18 < 19 < N19

Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar. En el ejemplo el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6 con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o más.

Datos agrupados

Al tratar con datos agrupados, si coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

Donde y son las frecuencias absolutas acumuladas tales

Que , y

Son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

Ejemplo para datos agrupados

Entre 1.50 y 1.60 hay 2 estudiantes.

Entre 1.60 y 1.70 hay 5.

Entre 1.70 y 1.80 hay 3 estudiantes.

Método de cálculo general

xi fi Ni

[x11-x12] f1 N1

. . .

. . .

. . N(i-2)

[x(i-1)1-x(i-1)2] f(i-1) f(i-1)-N(i-2)=N(i-1)

[xi1-xi2] fi fi-Ni-1=Ni

[x(i+1)1-x(i+2)2] f(i+1) f(i+1)-Ni=N(i+1)

. . .

. . .

. . .

[xM1-xM2] fM fM-N(M-1)=NM

Consideramos:

- x11 valor mínimo< Entonces:

...