Probabilidades

NOCIONES DE PROBABILIDADES

INTRODUCCIÓN

Consideremos el típico proceso azaroso de revoleo de una moneda al aire. ¿Se puede saber en el momento de tirarla si caerá cara o ceca? Podríamos contestar, con la misma fe en la ciencia que los físicos de fines de siglo diecinueve, que si conocemos exactamente la geometría y densidad de la pieza, la posición inicial, medimos cuidadosamente el impulso inicial y su punto de aplicación, consideramos adecuadamente la resistencia del aire y estamos seguros en qué punto de su trayectoria será interceptada por el dorso de la mano, estaremos en condiciones de prever cuántas vueltas dará antes de posarse, y con ello predecir si la cara o la ceca aparecerán arriba o abajo. Es decir que controlando el tiro podremos apostar, seguros de ganar. Por supuesto que el control de todas esas condiciones es sólo posible en un laboratorio, por lo que los chicos del equipo del barrio pueden quedarse tranquilos: El arco con el sol de frente les toca a veces “por esa maldita suerte” y no por decisión directa del referee, quién se limita a tirar mecánicamente una moneda en condiciones siempre irrepetibles y fuera de su control.

La Estadística y la Probabilidad

El estudio de conjunto del factor de azar revela que respeta leyes aproximadas, es decir dentro de un cierto margen de error. El estudio de tales leyes aproximadas se llama estadística, palabra que se deriva de estado, por ser los estados los que emplearon por primera vez las técnicas de recuento de población y bienes.

Los sucesos con componente azaroso se llaman casuales, aleatorios o estocásticos. Su resultado o contingencia no puede determinarse con certeza absoluta y se habla en cambio de probabilidad de ocurrencia, representada con un número que va desde cero (ninguna chance de que pase) a uno (certeza total de que ocurrirá). Así, por ejemplo, en base a algún método de muestreo de llamadas, podremos afirmar que la probabilidad de que nuestro teléfono suene en los próximos 10 minutos es 0,3 (o un treinta por ciento si preferimos) con una incertidumbre de 0,01 (1%).

El Azar Estadístico

También, hay procesos que tienen una ocurrencia y desarrollo ligado a una gran cantidad de otros acontecimientos anteriores relacionados o no entre sí, y que resultan absolutamente imposibles de desentrañar por su complejidad y número, por más que pudieran responder en último caso a relaciones causa-efecto. Por ejemplo, se sabe que la interacción mecánica en el espacio de sólo tres cuerpos es un problema ya harto complicado de resolver por más que las relaciones causa-efecto sean las sencillas leyes de la mecánica clásica. ¿Quién se atrevería siquiera a abordar por este método la interacción de millones de moléculas en un botellón de gas? Sólo métodos estadísticos dan en este caso un resultado de conjunto muy ajustado, prediciendo variables macroscópicas como presión, temperatura y funciones de distribución de velocidades de las moléculas, es decir qué porcentaje del total de moléculas tienen velocidades comprendidas en un intervalo dado.

Experimento: Es la observación de alguna actividad de efectuar una medición. Los experimentos u operaciones reales o hipotéticas pueden dividirse en dos clases: deterministicos y no deterministicos.

• Experimentos Deterministicos: Un experimento es deterministico si los resultados del experimento están completamente determinados y puede describirse por una formula matemática llamado también modelo deterministicos. Ejemplo:

- Soltar una piedra en el vació y ver s cae o no

- Lanzar una pelota de goma en el agua y ver si flota o se hunde.

Son experimentos deterministicos, pues en el primer caso es evidente que la piedra caerá, aun mas su movimiento se describe por las ecuaciones de caída libre, en ele segundo caso la pelota flotar indudablemente.

• Experimento no Deterministico o Aleatorios: Si los resultados no pueden predecirse con exactitud antes de realizar el experimento. Ejemplo:

E1: Lanzar una moneda y observar la cara superior.

E2: Lanzar un dado y observar el numero que aparece en la cara superior.

Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

Se llama espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.

Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio Es el conjunto de los resultados posibles del experimento. Se denota por W o S.

Ejemplo:

- Al lanzar una moneda puede salir salir cara y salir sello, el espacio muestral es W = {cara, sello} ó W = {c, s}.

- Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es W = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6} ó W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

- Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es W = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.

- Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es W = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}

Diagrama de arbol

Suceso: Llamaremos suceso a todo elemento de un espacio muestral y lo designaremos por x, y, w….etc. esto si es x es un suceso, entonces x . Es lo equivalente a elemento en la teoría de conjuntos.

Evento: Se llama evento a cualquier subconjunto del espacio muestral y lo denotaremos por A, B, C,…, etc., luego si A es un evento entonces A . Es lo equivalente a elemento en la teoría de conjuntos.

Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}

2. Obtener un número primo y par B = {2}

3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

Probabilidades: Definiciones y Conceptos

Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen

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