Series De Fourier Matlab

Matlab con Series de Fourier

Objetivo General

Aproximar con series trigonométricas de Fourier funciones con distintos valores de Armónicas mediante el software Matlab para facilitar la visualización del comportamiento de las series.

Objetivo Particular

Realizar los códigos y lineamientos necesarios (Matlab) para poder visualizar diferentes tipos de series de Fourier dependiendo del número de armónicas y así poder concluir cual es el efecto de aumentar el número de armónicas observando las diferentes gráficas obtenidas.

Introduccion

Jean Baptiste Joseph Fourier fue un afamado Matemático francés que nació el 21 de marzo de 1768 en Auxerre, Bourgogne. Hijo de un sastre.

Asistió a la escuela militar local dirigida por monjes benedictinos y mostró tal habilidad para las matemáticas que finalmente fue profesor de esta materia en su escuela. Fue uno de los primeros maestros de la Escuela Politécnica y llegó a ser profesor de análisis matemático.

A la edad de 30 años fue designado por Napoleón consejero científico en una expedición a Egipto y durante 4 años fue secretario del Instituto de Egipto, donde se estableció la egiptología como una ciencia separada. Ayudó a establecer las facilidades educacionales en Egipto y llevaba las exploraciones arqueológicas. Regresó a Francia en 1801 donde fue prefecto de 1801 a 1814 del departamento de Isere.

Publicó "La teoría analítica del calor" en 1822 seguidor de la teoría matemática de la conducción del calor. Estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor solucionándolo por el uso de series infinitas de funciones trigonométricas. Introdujo la representación de una función como una serie de senos y cosenos, ahora conocidas como las series de Fourier.

Joseph Fourier falleció el 16 de marzo de 1830 en París.

Serie de Fourier

Las series de Fourier reciben su nombre en honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que hizo importantes contribuciones al estudio de las series trigonométricas, que previamente habían sido consideradas por Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli. Fourier introdujo las series con el propósito de resolver la ecuación de conducción del calor en una lámina de metal publicando sus resultados en 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (Memoria sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos), y publicando su Théorie analytique de la chaleur (Teoría analítica del calor) en 1822. Ideas previas en descomponer una función periódica en la suma de simples funciones de oscilación datan desde el siglo III a.C., cuando astrónomos antiguos propusieron un modelo empírico de movimiento planetario con base en epiciclo.

La ecuación del calor es una ecuación en derivadas parciales. Previamente al trabajo de Fourier, no se conocía solución alguna para la ecuación de calor en forma general, aunque se conocían soluciones particulares si la fuente de calor se comportaba de manera sencilla, en particular, si la fuente era una onda de seno o coseno. Estas soluciones simples a veces son llamadas valores propios. La idea de Fourier era modelar una fuente de calor compleja con una superposición (o combinación lineal) de simples ondas sinusoidales y para escribir la solución como una superposición de los correspondientes valores propios. A la superposición o combinación lineal se le llama Serie de Fourier.

Desde un punto de vista más actual, los resultados de Fourier son algo informales debido a la falta de precisión en la noción de la función matemática y la integración a inicios del siglo XIX. Después, Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Bernhard Riemann expresaron los resultados de Fourier con mayor precisión y formalidad.

Aunque el motivo original era resolver la ecuación de calor, tiempo después fue obvio que se podía usar la misma técnica a un gran conjunto de problemas físicos y matemáticos, especialmente aquellos que involucraban ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, para los cuales sus soluciones únicas eran sinusoidales. Las series de Fourier tienen muchas aplicaciones en la ingeniería eléctrica, análisis de vibraciones, acústica, óptica, procesamiento de señales, retoque fotográfico, mecánica cuántica, econometría, la teoría de estructuras con cascarón delgado, etc.

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).

Las series de Fourier tienen la forma:

Ilustración 1. Las primeras cuatro aproximaciones para una función periódica escalonada

Desarrollo

Experimento 1

De la serie trigonométrica

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