TRABAJO REALES

TRABAJO REALES

¿Que son los números reales?

Historia de los reales

Hacer un esquema diferente al de link, con la clasificación de los reales

Cinco ejercicios con operación entre reales.

DESARROLLO

El conjunto de los reales por la letra R, y contiene a todos los conjuntos numéricos vistos hasta ahora: N Z ϵ q ϵ r. Pero además contiene otros números adicionales no mencionados previamente que son los números irracionales, en ocasiones representado por la I. Además los racionales y los irracionales son conjuntos disjuntos, no tienen ningún elemento común, con lo que su intersección es el conjunto vacío. De este modo resulta que r=Q u i.

Los números reales son todos aquellos que se pueden expresar como un número entero (la parte entera de un número real) “como algo”, siendo este “algo” la parte decimal del número. Así por ejemplo los reales serán de la forma 4,23, 7,27, 56,00, etc. Los números reales son los que nos permiten medir todo tipo de magnitudes o de cantidades “reales”, como pueden ser por ejemplo la longitud de un segmento. Elegida una unidad de medida (por ejemplo el metro) cualquier segmento rectilíneos tendrá una determinada longitud, que será un número real, y por cualquier número real.

Los números reales aparecieron en la historia de la matemática, en épocas muy tempranas, pues los babilonios y los egipcios ya trabajaron con el número pi, y después los griegos demostraron la inconmensurabilidad de la raíz cuadrada de dos. Sin embargo a esas alturas de la historia no había una necesidad perentoria de dar una definición “coherente” de número real (ni siquiera de numero natural).

Hubo que esperar mucho, para que el desarrollo de las matemáticas exigiera un mayor rigor en la definición de los elementos con los que trabajaba. En este sentido, se puede considerar a BOLZANO como el primero que intento dar rigor al concepto de número real, y lo hizo como límite de sucesiones de número racionales. Sin embrago su teoría paso desapercibida y no se publicó hasta mucho después.

MERAY fue uno de los primeros en publicar sus ideas, pues ya en 1869 publicó un artículo en el que llamaba la atención sobre el problema de definir el límite de una sucesión como un número real, y a su vez, definir un real como un límite de sucesión de número racionales.

WEIERSTRASS zanjo el problema de la existencia del límite de una sucesión convergente identificando la sucesión misma con el número límite. En realidad en la teoría de weierstrass los números irracionales se definen como conjunto de racionales. Sin embargo, no publico sus ideas, y estas se dieron a conocer a través de LINDEMANN y HEINE.

DEDEKIND dedico su atención al problema de los números irracionales en 1858 y vio que se podía extender el dominio de los números racionales para formar un continuo de números reales (la recta real), si se admite lo que hoy se llama axioma de CANTOR-DEDEKIND, que afirma que los puntos de una recta se pueden poner en correspondencia biunívoca con los numero reales.

Las distintas definiciones de los números reales son, como había hecho observar HANKEL que debían ser, construcciones intelectuales hechas sobre la base de los números racionales, y no algo impuesto a la matemática desde fuera.

La definición de DEDEKIN ha sido una de las más populares y a principio del S. XX BERTRAND RUSSEL propuso una ligera modificación del concepto de cortadura de DEDEKIND.

Sin embargo, hoy en día la definición más usada es la axiomática, considerando que el conjunto de los números reales es aquel que cumple una serie de axiomas, elegidos de forma que de ellos puedan deducirse todas las demás propiedades que se obtienen con las otras

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