Documento de docencia: Teoría de carteras de inversión

Documento de docencia:

Teoría de carteras de inversión

Teoría de carteras de inversión

La teoría de carteras propuesta en su artículo seminal por Harry Markowitz en el año 1952, entrega herramientas útiles para efectos de administrar el riesgo de un portafolio, que es el objetivo que busco al presentar este tema y que desarrollaré de la manera más simple destacando aquellos elementos necesarios para conseguir tal objetivo.

Para lograr una mejor comprensión del tema, es importante definir cierta nomenclatura que se utilizará de manera recurrente y que a continuación se presenta:

Cartera o portafolio:

                        Es un conjunto de dos o más activos ya sean riesgosos, libres de riesgo o una mezcla de ambos.

Activo riesgoso:

                        Es aquel activo que ofrece un retorno diferente dependiendo del estado de la naturaleza que se de en el futuro.

Activo libre de riesgo:

                        Es aquel activo que ofrece el mismo retorno independientemente del estado de la naturaleza que suceda.

Cabe señalar que no existe en ningún país del mundo un activo de cero riesgo y que en este tema se asume su existencia para fijar un extremo y por consecuencia, hacer conclusiones cuando las decisiones nos acercan a dicho activo. Ahora bien, en la realidad básicamente existen activos riesgosos y más bien hablamos de activos de mayor o menor riesgo.

Algunos supuestos del modelo

1. Todos los inversionistas buscan maximizar sus beneficios y minimizar su riesgo.
2. Todos los inversionistas son adversos al riesgo.
3. Todos los inversionistas actúan siempre de manera racional.
4. Las expectativas de los inversionistas son homogéneas.
5. Todos los inversionistas operan con la misma información en el mismo tiempo.

El modelo presenta más supuestos que los que he mencionado y sólo haré una discusión básica de algunos para darle la valoración que corresponde y entender que si no los consideramos, el modelo propuesto no tiene valor.

El modelo supone que todos los inversionistas son adversos al riesgo, lo que no significa que para Markowitz no existan personas cuya actitud frente al riesgo sea diferente, sino que para este modelo se asume que el riesgo es un mal para el inversionista y por lo tanto, al tomarlo se exige una compensación que llamaremos rentabilidad, así, las conclusiones que hagamos sólo son válidas para este tipo de personas.

Suponer expectativas homogéneas significa pensar que todos los inversionistas observan los mismos escenarios futuros posibles y además, asignan idéntica probabilidad de ocurrencia a dichos eventos, lo cual, parece bastante lejano de la realidad y de alguna forma, limita las conclusiones que se hacen en el modelo ya que en general podemos aseverar que las expectativas son heterogéneas entre los participantes de un mercado.

Inicialmente se supone que sólo existen sólo dos activos riesgosos X e Y, de tal forma que haremos las siguientes definiciones:

a: proporción de la riqueza que se invierte en el activo riesgoso X.

1-a: proporción de la riqueza que se invierte en el activo riesgoso Y.

[pic 1] : Retorno riesgoso del activo X.

[pic 2] : Retorno riesgoso del activo Y.

[pic 3] : Retorno riesgoso del portafolio.

Retorno esperado del portafolio

El retorno esperado del portafolio representa lo que en promedio creemos que ganaremos en un momento futuro, dado un conjunto de retornos estado contingentes.

Para construirlo, partamos de la siguiente ecuación:

[pic 4] 

Esta ecuación representa el retorno riesgoso del portafolio considerando los activos riesgosos  X e Y.  Como se puede apreciar, el retorno de la cartera es el resultado de ponderar los retornos de cada activo, por las proporciones de inversión.

Ahora, apliquemos a la ecuación anterior el operador esperanza

[pic 5]    /  E

Al hacerlo, obtendremos lo siguiente:

[pic 6]  ( Retorno esperado del portafolio )

Donde:

[pic 7]representa el retorno esperado del portafolio.

[pic 8]representa el retorno esperado del activo riesgoso X:  [pic 9]

[pic 10]representa el retorno esperado del activo riesgoso Y:  [pic 11]

Al observar la ecuación anterior, cabe plantear la siguiente pregunta:

¿De qué depende el retorno del portafolio?

La ecuación muestra que depende de tres elementos:

1. La elección de los activos X e Y.
2. El retorno de cada activo del portafolio.
3. La mezcla de inversión utilizada, vale decir, qué proporción de la riqueza se invierte en cada activo.

La elección de los activos está sujeta a las expectativas que el inversionista tenga en relación al desempeño futuro del precio de mercado el cual está determinado por dos elementos centrales:

1. Los flujos de caja futuros esperados que el activo ofrece.
2. La rentabilidad que se exige al activo.

Los dos elementos anteriores respaldan la idea de que el precio de mercado de un activo es simplemente el valor presente de los flujos futuros que éste ofrece, así:

                [pic 12]

Donde:

F: representa el flujo de caja esperado perpetuo.

K: representa la tasa de descuento ajustada por riesgo.

De la ecuación anterior se desprende que si la apuesta en la estrategia financiera está asociada a un incremento en el precio del activo, entonces se debiera elegir aquel o aquellos en los cuales se cree que el flujo esperado aumentará, sin modificar el riesgo ya que así, la tasa de descuento relevante permanecerá en el mismo nivel, y por consecuencia, el precio aumentará.

En cuanto al retorno de cada activo del portafolio, naturalmente éste dependerá de lo que suceda al momento de hacer la medición y en particular del estado de la naturaleza que suceda, que es lo singular de los activos riesgosos y que no puede ser controlado por los inversionistas.

La única variable controlable por el inversionista, es la proporción de la riqueza que se invierte en cada activo y que influye directamente en la rentabilidad de la cartera, ya que ésta nace como una media de los retornos individuales de los activos ponderados por las proporciones de inversión. Esto sumado a que los inversionistas estudiados en este modelo son adversos al riesgo, obliga a fijar las ponderaciones en aquellas alternativas de mayor retorno esperado dado un cierto nivel de riesgo.

Riesgo del portafolio

Para medir el riesgo de la cartera, Markowitz utiliza la varianza o la desviación estándar que son indicadores que muestran el grado de dispersión promedio de las observaciones de una muestra en relación a la media. En general, en la medida que el valor numérico es mayor, indicará una mayor inestabilidad del retorno y por consecuencia su riesgo será mayor.

A continuación se presenta la forma de estimar la varianza del retorno del portafolio:

        [pic 13]

Donde:

a:         representa la proporción de inversión en el activo X.

(1 – a):         representa la proporción de inversión en el activo Y.

 [pic 14]         representa la varianza del retorno del activo X: [pic 15]

[pic 16]         representa la varianza del retorno del activo Y: [pic 17]

Cov(x,y):representa la covarianza entre los activos X e Y:

[pic 18] o bien   [pic 19]

[pic 20]        es el coeficiente de correlación entre los activos X e Y.

Como se puede apreciar, el riesgo del portafolio depende de tres elementos:

1. El riesgo de los activos individuales representados por la varianza de cada activo.
2. Las proporciones de inversión en cada activo.
3. La dirección que toman las variables frente a idéntico estímulo representada por la covarianza.

En el primer caso, se debe recordar que la varianza del retorno de un activo mide el grado de dispersión de los distintos retornos estado contingentes en relación a su retorno esperado, de tal forma que al ser mayor, significa que el rango en el cual se moverá el resultado al final será mayor y por consecuencia el riesgo será mayor.

...