Contenido ecuaciones diferenciales

Universidad Abierta y a Distancia de México

Ingeniería en Telemática

3° Semestre

Ecuaciones diferenciales

Unidad 1. Ecuaciones de primer orden

Clave:

21142313/22142313

Ecuaciones Diferenciales

Unidad 1. Ecuaciones de primer orden

Índice

Unidad 1. Ecuaciones de primer orden ......................................................................................... 3

Presentación de la unidad ............................................................................................................. 3

Competencia específica ................................................................................................................ 4

Logros ............................................................................................................................................ 4

1.1 Identificación de una ecuación diferencial ............................................................................. 5

1.1.1 Clasificación de ecuaciones generales (orden y grado) ....................................................... 5

1.1.2 Ecuaciones Diferenciales lineales y no lineales .................................................................... 6

Actividad 1. Relación de columnas ................................................................................................ 7

1.1.3 Solución de ecuaciones diferenciales (teorema de existencia y unicidad) .......................... 8

Actividad 2. Ecuaciones diferenciales con solución única........................................................... 12

1.1.4 Casos particulares (generalidades) .................................................................................... 13

1.2 Clasificación de ecuaciones diferenciales lineales ................................................................ 14

1.2.1 Separación de variables ..................................................................................................... 14

1.2.2 Exactas, no exactas, factor integrante ............................................................................... 15

Actividad 3. Clasificación de ecuaciones diferenciales ............................................................... 19

1.3 Ecuación de Bernoulli ............................................................................................................ 19

1.3.1 Definición ........................................................................................................................... 20

1.3.2 Ejemplos y su representación gráfica ................................................................................ 21

Actividad 4. Representación de un modelo matemático ............................................................ 23

Cierre de la unidad ...................................................................................................................... 24

Fuentes de consulta .................................................................................................................... 24

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Unidad 1. Ecuaciones de primer orden

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Unidad 1. Ecuaciones de primer orden

Presentación de la unidad

Muchas de las leyes que rigen la naturaleza, ya sean: físicas, químicas o astronómicas, pueden

ser analizadas mediante modelos matemáticos. Estos modelos son, generalmente, funciones

matemáticas.

Recuerda que si ( ) = y f x es una función, su derivada se puede interpretar como la razón de

cambio de y con respecto a x . En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus

razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de las leyes que gobiernan dicho

proceso. Por ello, al expresar tal conexión en el lenguaje matemático, el resultado con frecuencia

es una ecuación diferencial.

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Competencia específica

Determina el método de solución de una ecuación diferencial a través de su orden, grado y linealidad para establecer su resultado o conjunto de resultados.

Logros

• Identificar una ecuación diferencial por medio de su orden, grado y linealidad.

• Resolver una ecuación diferencial por medio del teorema de existencia y unicidad.

• Resolver ecuaciones diferenciales en campos de soluciones vectoriales y multivariables.

• Resolver una ecuación exacta, no exacta, factor integrante y separación de variables.

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1.1 Identificación de una ecuación diferencial

Una ecuación es una igualdad con incógnitas, por ejemplo:

2 3 2 0 x x ++=

es una ecuación de 2º grado donde las soluciones 1 1 x =

,

2 2 x = satisfacen la

ecuación.

En cambio, la siguiente ecuación también es una igualdad pero las incógnitas son

funciones:

2

2 0

dy

y

dx

+=

(1)

En este caso:

es una solución de la ecuación diferencial

2

2 0

d y

y

dx

+ =

(2)

ya que al sustituir hace que se cumpla la igualdad:

2

2

( )

0

d sen x

sen x

dx

+ =

−sen x + sen x = 0

1.1.1 Clasificación de ecuaciones generales (orden y grado)

Nuestro estudio se centrará en ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir, aquellas

“ecuaciones que contienen derivadas de una o más variables dependientes

respecto a una única variable independiente.

Por ejemplo

a)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

+ 5𝑦 = 𝑒𝑥

y sen x =

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b)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 −

𝑑𝑦

𝑑𝑥

+ 6𝑥 = 0 y

c)

𝑑𝑥

𝑑𝑡

+

𝑑𝑦

𝑑𝑡

= 2𝑥 + 𝑦

son ecuaciones diferenciales ordinarias” Dennis G. Zill (2008) p.2 , mientras que

𝑑2𝑢

𝑑𝑥2 +

𝑑2𝑢

𝑑𝑦2 = 0

no lo es porque x y y son variables independientes. A esta última ecuación se le llama

ecuación diferencial parcial.

El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de orden más alto. Por

ejemplo:

2

2 0

dy

y

dx

+=

(3)

es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

El grado de una ecuación diferencial es igual al exponente positivo mayor al que se

eleva la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo:

3

2

2 0

d y

y

dx

 

  + =

  (4)

es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden de tercer grado.

1.1.2 Ecuaciones Diferenciales lineales y no lineales

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si se puede escribir de la

forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1

1 1 0 ..... n n

n n

a x y a x y a x y a x y g x −

−

+ + + + =

(5)

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donde los coeficientes ( ) k

x a para 1,2,3,.. kn= son funciones reales, con

an ( x)  0. Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta

forma es no lineal.

Se dice que una ecuación diferencial (5) es lineal con coeficientes constantes si las

funciones ( ) k

a x son constantes para cualquier valor de k ; en caso contrario,

decimos que la ecuación diferencial es de coeficientes variables.

...