DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD V DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

DISTRIBUCIÓN NORMAL.        Características:        

La función que define esta distribución es:                    

[pic 1]

                        - ∞< x < ∞

[pic 2]

Dónde:       μ (mu) → media 

σ (sigma) → desviación estándar 

σ2 → varianza.

         = 3.1416 Constante[pic 3]

         e = 2.7183 Constante

Al dar a la función los valores de μ , σ2 y valores a X, obtendremos una distribución en forma de campana, por lo que también se le conoce como campana de Gauss, La media μ mide la ubicación de la distribución y la desviación estándar σ mide su dispersión.

El área total bajo la curva es 1 y su función de densidad es simétrica.

La curva es asintótica toma cualquier valor (- ∞,  +∞).

Son más probables los valores cercanos a media µ.

Al separarnos de la µ, la probabilidad decrece dependiendo de la desviación (σ).

        μ ± σ,                Aprox. 68.26% de los datos bajo la curva,  

μ ± 2σ,         Aprox. 95.44% de los datos bajo la curva

μ ± 3σ,         Aprox.  99.74% de los datos bajo la curva

Esta característica es a la vez una forma empírica y rápida de demostrar si los datos que se analizan tienen una distribución Normal; ya que, para trabajar los datos con esta distribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que, de no hacerlo, las decisiones que en un momento dado se tomarán de un análisis de los datos con la distribución Normal, serían erróneas.

¿Cómo se determinan probabilidades con la distribución Normal?

Lo más lógico es que la función f(x,μ, σ2), se integre entre los límites de la variable x:

[pic 4]

La integral dará el área bajo la curva de la función, desde a hasta b, que corresponde a la probabilidad buscada.

Debido a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada vez que sea necesario, lo que se hace es tipificar el valor de la variable x (Cuando la media de la distribución es 0 y la varianza es 1 se denomina "normal tipificada), esto es, x se transforma en un valor de z.

Si la variable X es N (μ, σ), la variable tipificada de X es:        Z[pic 5]

Y sigue también una distribución normal de μ = 0 y σ = 1, es decir N (0, 1)

A la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada.

Característica de la distribución normal tipificada [pic 6]

No depende de ningún parámetro

Su media = 0, su varianza = 1 y su desviación = 1.

La curva f(x) es simétrica respecto del eje OY

Tiene un máximo en este eje

Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1

Este valor de z es buscado en una tabla de vienen áreas asociadas a este valor, y haciendo uso de los valores tabulados, se determina la probabilidad requerida.

[pic 7]

Ejemplo1:                Estudios de recubrimientos de mortero de tubería empleada en transmisión de agua se especifican un espesor de 7/16 pulgadas. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. [pic 8]

Sí las mediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada?

x = espesor del mortero en pulgadas        μ = 0.635 pulgadas        σ = 0.082 pulgadas

P (x < 7/16 pulgadas)                 Z =Z =  =  = -2.41        P(z=-2.41)= 0.008[pic 9][pic 10][pic 11]

0.8% de los recubrimientos tienen un espesor menor de 7/16 pulgadas

Ejemplo2:        Una lámpara tiene una duración media de 7,000 horas y una desviación estándar de 1,000 horas. Un competidor ha inventado un sistema de iluminación fluorescente que tiene una duración media de 7,500 horas y una desviación estándar de 1,200 horas. Determine qué tipo de iluminación tiene mayor probabilidad de:

a) durar más de 9,000 horas                b) durar menos de 5,000 horas

Tubo 1   X1 = duración de una lámpara                μ = 7,000 horas        σ = 1,000 horas

Tubo 2   X2 = duración sistema fluorescente            μ = 7,500 horas        σ = 1,200 horas

[pic 12][pic 13]

1. µ = 7000;        σ = 1000;               X = 9000.

Z1  = 2  →  P (Z1 = 2) = 0 .9772 [pic 14]

p(x1 > 9,000 horas) = 1.0 – p (z1 = 2.00) = 1.0 – 0.9772 =  0.0228

                         [pic 15][pic 16]

1. µ = 7500;        σ = 1200;        X = 9000

Z2  = 1.25   →  P (z2 = 1.25) = 0.8944[pic 17]

p(x2 > 9,000 horas) = 1 – p (z2 = 1.25) = 1 – 0.8944 = 0.1056

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