Escribir el modelo de la ecuación simétrica

a al origen Y (0, b) la grafica en forma general queda de la siguiente manera:

1. En el siguiente recuadro anota el modelo de la ecuación simétrica:

La grafica en general queda de la siguiente manera:

1. El ingeniero Germán se encuentra en una tienda comercial en el centro de la capital Mexiquense y quiere llegar al estadio de futbol a presenciar el partido de Toluca contra Cruz Azul, por lo que su posición está indicada por la abscisa al origen a=2 y la ordenada al origen b=7, encuentra la ecuación del desplazamiento que debe hacer el ingeniero para llegar al estadio.

Trazando la grafica con los puntos de intersección (2, 0) y (0, 7), tenemos:

Al sustituir las coordenadas en la ecuación queda de la siguiente manera:

Para comprobar que efectivamente es la ecuación convierte a la forma explícita y tabula, y las coordenadas al origen deben estar en la tabla. Encierra la forma explícita de la ecuación.

Ejercicios:

Encuentra la ecuación simétrica de las siguientes rectas si conocemos las intersecciones con los ejes cartesianos, traza las graficas en el plano cartesiano en una hoja milimétrica:

 (-5, 0) y (0, -2)

 (7, 0) y (0, -5)

 ,

 (-4,0) y (0,-8)

ECUACIÓN GENERAL: Es una expresión algebraica lineal ya que sus literales tienen como mayor exponente uno.

Los coeficientes de la ecuación permiten encontrar la pendiente y las intersecciones con los ejes de esta manera se puede graficar la recta.

1. En el siguiente recuadro anota el modelo de la ecuación general:

Ejemplo:

1. El desplazamiento de la bicicleta de Juanito de su casa al parque está representado por la ecuación 3x-5y+15=0, encuentra las coordenadas de la bicicleta si la colocáramos en el plano cartesiano y las avenidas principales tomarán el lugar de los ejes cartesianos, además queremos saber en qué momento las va a cruzar.

Para trazar la grafica debes hacer analiza lo siguiente:

a. Determinar los coeficientes de la ecuación general que es 3x-5y+15=0 el coeficiente de x es A=3, el coeficiente de y es B=-5 y el término independiente es C=15.

b. Posteriormente se calculan la pendiente y los puntos de intersección con los ejes de la siguiente manera:

(-5, 0) abscisa al origen

(-5, 0) ordenad a al origen

c. Trazar la grafica con las coordenadas al origen, para verificar que la pendiente es correcta se trazo otro punto y coincidió con la recta por lo tanto es el ejercicio esta correctamente resuelto como se ve en la imagen y en la tabulación.

Ejercicios:

Traza la grafica de las siguientes ecuaciones generales, determinando sus puntos de intersección y la pendiente:

 7x – 8y - 56 = 0

 3x – 2y -12 = 0

 3x + y – 6 = 0

 -x-y-3=0

Transformaciones de la ecuación de una recta

De todos los ejercicios anteriores te habrás dado cuenta que se puede transformar a la forma explícita mediante un proceso algebraico de igual manera se puede cambiar a cualquiera de las cuatro formas de la ecuación a partir de una de ellas.

En el siguiente ejercicio te decimos como hacer la transformación de las ecuaciones de una recta.

Ejemplo

1. Un sistema de localización satelital tiene en su mira una camioneta de resguardo de dinero de la empresa COMETRA, el personal de seguros quiere saber el momento en que cruzara los lugares donde debe descargar el dinero con seguridad, que en el plano cartesiano coinciden con los cruces de los ejes cartesianos, su localización esta en el punto P (4,5) y su avance esta dado por la pendiente que es

Trazar la grafica en el plano cartesiano, y encontrar la ecuación en su forma general del avance de la camioneta.

Analizando los datos se observa que el ejercicio proporciona un punto y la pendiente por lo que se debe iniciar con la ecuación punto pendiente, el proceso algebraico es el siguiente:

Ahora de la ecuación general, podemos transformarla a su forma común y simétrica, pero para ello, tememos que determinas los siguientes datos:

La pendiente ya sabemos que tiene un valor de , comprobando, tenemos:

A = 2, B = -3 y C = 7

(-3.5, 0)

(0, 2.66)

Transformando, de acuerdo a los datos, se tiene:

Ecuación común

Ecuación Simétrica

Para trazar la grafica se hace lo siguiente: con a y b se transformaron a decimales (banco donde la camioneta debe descargar el dinero) se tienen las coordenadas al origen, se localizan en el plano cartesiano y se puede observar cómo la pendiente se cumple y la recta pasa por el punto que el ejercicio dio como referencia.

Recuerda: A partir de la ecuación general se pueden encontrar los elementos para trazar la grafica y encontrar la pendiente, debes tener cuidado con los signos y despejes.

2. Ahora la localización de la camioneta COMETRA en la zona del Valle del Mezquital es de P (-20,-9) y P (10,9), y se quiere saber el avance del carro (pendiente) y la ecuación general, los datos del ejercicio son dos coordenadas cartesianas por lo que puedes utilizar la ecuación cartesiana.

Ecuación General

Identificando los coeficientes de la ecuación:

A = 3, B = -5 y C = 15

Las coordenadas por donde pasara la camioneta son (-5, 0) y (0, 3).

Transformando la ecuación en su forma punto – pendiente, tenemos:

La ecuación común es:

La ecuación simétrica es:

La grafica se puede trazar sin ningún problema con las coordenadas al origen, quedando de la siguiente manera, la tabla nos muestra dichas coordenadas:

Atención:

Como puedes darte cuenta los procesos algebraicos permiten transformar las ecuaciones de la recta en todas sus formar a partir de cualquiera de ellas. Una recomendación es que des un repaso de Algebra para que tus dudas sean mínimas.

Práctica:

Ejercicio:

1. Traza las siguientes rectas en el plano cartesiano y encuentra la ecuación aplicando la formula correspondiente a cada ejercicio.

a) 1. A (-6,15) B (-3,7)

b) 2.A (6,8) y b= -1

c) 3. A=2 B=3 C=10

d) 4. a= -15 b=3

e) 5. 3x+7y-21=0

De los ejercicios anteriores, transforma por método algebraico la ecuación de la recta en todas sus formas.

ANGULO ENTRE DOS RECTAS

Para encontrar un ángulo entre dos rectas el procedimiento es el siguiente: primero tienes que analizar la grafica de las dos rectas que se cruzan como lo muestra la siguiente figura de manera que el ángulo más grande es obtuso, es decir mayor de 90°, pero menor de 1800 y el menor es agudo menor de 90°, esto se puede analizar por observación del ángulo.

Escribe en el recuadro la fórmula para encontrar el ángulo de intersección entre dos rectas:

Ejemplo:

En el siguiente dibujo se muestra el cruce de ferrocarril en donde se quiere colocar una caseta de control, pero se tiene que calcular la abertura más grande que hay entre las vías del tren para construirla, a simple vista se puede ver pero se tiene que tener la medida exacta.

Los datos que proporciona el ejercicio son los puntos A (-5,15) B (11,-11) y C (11,4) D (-9,1) que forman las rectas del siguiente grafico:

El ejercicio pide el ángulo más grande entonces es el ángulo obtuso mayor de 90° y menor de 180° y lo primero que tienes que hacer es indicarlo como lo muestra la figura, en este caso es el ángulo.

Para el ángulo la recta donde inicia el ángulo es por lo tanto su pendiente es m1 y la recta es donde termina el ángulo por lo tanto es la pendiente m2.

Calculando la pendiente de la recta cuyas coordenadas tiene A (-5,15) B (11,-11).

Calculando la pendiente de la recta cuyas coordenadas tiene C (11,4) D (-9,1).

Ahora calculemos el ángulo entre las rectas:

Atención:

Recuerda que como el ángulo es negativo

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