Espacios vectoriales reales (apunte leonor carvajal)
Fabii 1DResumen21 de Mayo de 2019
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ESPACIOS VECTORIALES REALES
Leonor Carvajal
[pic 4]
Leonor Carvajal
[pic 5][pic 6][pic 7]
DEFINICIÓN DE ESPACIOS VECTORIALES REALES
Sea V un conjunto no vacío de elementos que se denominan vectores y en el cual están definidas dos operaciones:
- Una ley de composición interna denominada suma de vectores, que se simboliza con el signo +.
- Una ley de composición externa denominada producto de un escalar (número real) por un vector, que se simboliza con el signo .
La cuaterna (V; + ; R ; . ) es un espacio vectorial real si y sólo si se cumplen los siguientes axiomas:
- + Es ley de composición interna. [pic 8].
- + Es conmutativa. [pic 9]
- + Es asociativa. [pic 10]
- Existencia de elemento neutro para + . Se simboliza O y es tal que: [pic 11] x + O = O + x = x
- Existencia de inverso aditivo. El inverso aditivo de [pic 12] se simboliza –x y es tal que: x +(-x) = -x +x = O
- . Es ley de composición externa. [pic 13]
- . Es distributiva con respecto a la suma de vectores. [pic 14]
- . Es distributiva con respecto a la suma de escalares. [pic 15]
- Asociatividad mixta. [pic 16]
- Existencia de elemento neutro para . . Es [pic 17] pues [pic 18][pic 19]
Ejemplos de espacios vectoriales:
( R2; +; R; . ) siendo R2 el conjunto de los pares ordenados de números reales.
( R3; +; R; . ) siendo R3 el conjunto de los ternas ordenadas de números reales.
( Rm x n; +; R; . ) siendo Rm x n el conjunto de matrices con elementos reales y de orden m x n.
( P(x) ; + R; . ) siendo P(x) el conjunto de los polinomios en la variable o indeterminada x.
[pic 20]
Leonor Carvajal
[pic 21][pic 22][pic 23]
Propiedades de los espacios vectoriales
Sea ( V; +; R; . ) un espacio vectorial.
1) El producto del escalar cero por cualquier vector x es el vector nulo.
En efecto: por neutro de la adición en R: [pic 24]
Por axioma 8: [pic 25]
Por axioma 4: [pic 26]
Por axioma 5: [pic 27][pic 28][pic 29]
Luego: [pic 30]
2) El producto de cualquier escalar por el vector nulo, es el vector nulo.
Por axioma 4: [pic 31]
Por axioma 7: [pic 32]
Por axioma 4: [pic 33]
Por axioma 5: [pic 34][pic 35][pic 36]
Luego: [pic 37]
3) Si el producto de un escalar por un vector es el vector nulo, entonces, el escalar es cero o el vector es el vector
nulo.
En símbolos: [pic 38] ( Trate de demostrarlo )
4) El opuesto de cualquier escalar por un vector es igual al opuesto de su producto.
En símbolos: [pic 39] ( Trate de demostrarlo )
SUBESPACIOS
Definición: [pic 40] es un subespacio de ( V; +; R; . ) si y sólo si ( S; +; R; . ) es un espacio vectorial y S[pic 41]V.
Cualquiera que sea ( V; +; R; . ), tanto V como [pic 42]son subespacios de V, llamados subespacios triviales.
Ejemplos: Consideremos el espacio vectorial (R2; +; R; . ) y los subconjuntos [pic 43] y
[pic 44].
A es un subespacio de R2 pues puede demostrarse que verifica todos los axiomas correspondientes.
B no es subespacio de R2 pues no cumple con el axioma 4 ya que el vector nulo (0;0) no pertenece a B.[pic 45]
Leonor Carvajal
[pic 46][pic 47][pic 48]
CONDICIÓN SUFICIENTE
Puede demostrarse que para determinar si ( S; +; R; . ) es un subespacio de ( V; +; R; . ), es suficiente probar:
1) [pic 49].
2) [pic 50]
3) “+” es Ley de Composición Interna en S, o sea: [pic 51].
4) “.” Es ley de Composición Externa, o sea: [pic 52]
Ejemplo: Sea [pic 53]. Demostrar que ( S; +; R; . ) es un subespacio de ( R3; +; R ; . ).
En efecto:
1) [pic 54] pues, por ejemplo, (0, 0, 0) [pic 55].
2) [pic 56], por definición de S.
3) “+” es Ley de Comp. Interna en S, pues: [pic 57]
O sea, [pic 58].
4) [pic 59] [pic 60]
Nota: Geométricamente, el conjunto S corresponde al plano de ecuación general x + y – z = 0, que pasa por el origen de coordenadas.
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