Espacios vectoriales reales (apunte leonor carvajal)

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                      ESPACIOS VECTORIALES REALES

                                                                                                                                 Leonor  Carvajal

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                                                                                                                                                Leonor  Carvajal

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DEFINICIÓN DE ESPACIOS VECTORIALES REALES 

Sea V un conjunto no vacío de elementos que se denominan vectores y en el cual están definidas dos operaciones:

• Una ley de composición interna denominada suma de vectores, que se simboliza con el signo +.
• Una ley de composición externa  denominada producto de un escalar (número real) por un vector, que se simboliza con el signo .                                                                 

La cuaterna (V; + ; R ; . ) es un espacio vectorial real si y sólo si se cumplen los siguientes axiomas:

1. + Es ley de composición interna.  [pic 8].

1. + Es conmutativa.   [pic 9]

1. + Es asociativa.    [pic 10]

1. Existencia de elemento neutro para + . Se simboliza O y es tal que:  [pic 11] x + O = O + x = x

1. Existencia de inverso aditivo. El inverso aditivo de [pic 12] se simboliza –x  y es tal que: x +(-x) = -x +x = O

1. . Es ley de composición externa.  [pic 13]

1. . Es distributiva con respecto a la suma de vectores. [pic 14]

1. . Es distributiva con respecto a la suma de escalares. [pic 15]

1. Asociatividad mixta.  [pic 16]

1.  Existencia de elemento neutro para .  . Es  [pic 17]  pues  [pic 18][pic 19]

Ejemplos de espacios vectoriales:

( R2; +; R; . ) siendo R2 el conjunto de los pares ordenados de números reales.

( R3; +; R; . ) siendo R3 el conjunto de los ternas ordenadas de números reales.

( Rm x n; +; R; . ) siendo Rm x n el conjunto de matrices con elementos reales y de orden m x n.

( P(x) ; + R; . ) siendo P(x) el conjunto de los polinomios en la variable o indeterminada x.

                                                                              [pic 20]

                                                                                                                                                     Leonor  Carvajal

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Propiedades de los espacios vectoriales

Sea ( V; +; R; . ) un espacio vectorial.

1) El producto del escalar cero por cualquier vector x es el vector nulo.

    En efecto: por neutro de la adición en R:  [pic 24]

                    Por axioma 8:                             [pic 25]

                    Por axioma 4:                       [pic 26]

                    Por axioma 5:                       [pic 27][pic 28][pic 29]

                    Luego:                                         [pic 30]

2) El producto de cualquier escalar por el vector nulo, es el vector nulo.

                    Por axioma 4:                              [pic 31]

                    Por axioma 7:                              [pic 32]

                    Por axioma 4:                        [pic 33]

                    Por axioma 5:                        [pic 34][pic 35][pic 36]

                    Luego:                                         [pic 37]

3) Si el producto de un escalar por un vector es el vector nulo, entonces, el escalar es cero o el vector es el vector

    nulo.

    En símbolos:                                     [pic 38]              ( Trate de demostrarlo )

4) El opuesto de cualquier escalar por un vector es igual al opuesto de su producto.

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