Inecuaciones

• Presentación:

Debido a la necesidad del hombre de conocer, denominar y sobrevivir en el mundo que le rodea, han surgido las ciencias, entre ellas, la matemática. Los innumerables problemas relacionados con los números, han hecho que la ciencia Matemática abarque un campo muy amplio de estudio, por ello se ha dividido en diversas ramas, y dentro de las mas importantes están la Aritmética, el Algebra y la Geometría.

El Algebra es la parte de la Matemáticas que trata de la cantidad considerada en general, sirviéndose para representarla de letras u otros signos especiales. Esta rama de la Matemática no es de fácil definición. Históricamente, el Algebra aparece vinculada con problemas numéricos cuya solución solo se logra mediante determinadas combinaciones de las operaciones aritméticas. El contenido de la presente obra ha sido desarrollado de forma didáctica, buscando que el tema analizado y el lenguaje empleado en las explicaciones sean de fácil comprensión para los lectores.

INECUACIONES

• Concepto

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

<menor que2x − 1

< 7≤menor o igual que2x − 1 ≤ 7

>mayor que2x − 1 > 7

≥mayor o igual que2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuación Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.

2x − 1 < 7

2x < 8 x < 4 (-∞, 4)

CRITERIOS DE EQUIVALENCIA DE INECUACIONES

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

−x < 5 (−x) • (−1) > 5 • (−1) x > −5

• CLASIFICACION

1. Resolución de inecuaciones de primer grado

Consideremos la inecuación:

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1º Quitar corchetes.

2º Quitar paréntesis.

3º Quitar denominadores.

4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

5º Efectuar las operaciones

6º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

7º Despejamos la incógnita.

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:

De forma gráfica:

Como un intervalo:

[3, +∞)

2. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

2x + y ≤ 3

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

x = 0; 2 • 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)

x = 1; 2 • 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Sí se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

2x + y ≤ 3

2 • 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí

2x + y > 3

2 • 0 + 0 > 3 0 > 3 No

En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no pertenecen a la solución.

3. Inecuaciones de segundo grado

Consideremos la inecuación:

x2 − 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

x2 − 6x + 8 = 0

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos

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