MATERIAL INFORMATIVO FUNCIÓN LINEAL: APLICACIONES

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MATERIAL INFORMATIVO

FUNCIÓN LINEAL: APLICACIONES

Formalmente, una función es una relación entre dos variables de manera que, a cada valor de la primera, le corresponde un único valor en la segunda.

A estas variables se les denomina:

Independiente: Corresponde a la primera variable y se le suele asignar la letra x.

Dependiente: Es la que se deduce de la variable independiente y se le suele designar con la letra y, o como f (x).

ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN: Una función f(x) está constituida por: El dominio y el rango.

Analizaremos cada uno de estos conceptos:

• Llamaremos dominio de la función y lo escribiremos Dom f (x ) al conjunto de todos los    valores que puede tomar la variable independiente.
• El conjunto formado por los valores que puede tomar la variable dependiente se denomina rango, recorrido o imagen de la función y lo escribiremos Ran f (x) o Im f (x).

Una función es una relación que asigna a cada elemento del dominio uno y solo un elemento del recorrido.

Usted es el experto

Usted es el administrador de una empresa publicitaria con un 25% de participación del mercado publicitario por internet. Debido a la pandemia, las ventas ahora son mediante plataformas virtuales para lo cual ha presentado al departamento de finanzas un ambicioso proyecto par subir las ventas y mejorar el posicionamiento del mercado publicitario. El gerente de finanzas cree que las proyecciones actuales, basadas en un modelo lineal no garantiza el grado de expansión que usted propone. ¿Cómo lo puede usted convencer de que su proyecto sea viable con los datos que cuenta la empresa?

Para analizar las tendencias de gastos en publicidad mediante plataforma virtual y hacer proyecciones, se necesita un modelo matemático de ese gasto. Para ello es necesario comprender los conceptos básicos de la matemática para aplicarlas a situaciones reales donde se relacionarán cantidades o magnitudes y entre estos es el de una función, dicha relación es que una depende de la otra, es asi que las funciones se pueden expresar en forma numérica, algebraica y gráficamente.

Las funciones más sencillas, que por su simplicidad y utilidad son las funciones lineales. Para estudiar estas funciones cabe mencionar que se debe conocer el concepto de: pendiente, razón o tasa de cambio, ecuación punto- pendiente entre otros.

En economía, el costo marginal es la razón de cambio del costo. El costo marginal es importante en la administración al tomar decisiones en áreas como control de costos, fijación de precios y planeación de la producción.

A continuación, te presentamos un resumen teórico de función: costo, ingreso, utilidad.

Función Costo.

Una función costo, especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de X artículos y tiene la forma:

Costo = Costo Variable + Costo fijo,

en la que el costo variable de una función de X, y el costo fijo es constante.

Costo variable:

Aquellos relacionados con la producción y volumen de ventas

CV = (costo de producción de un artículo) (Número de artículos Producidos)

Costo Fijo:

      Aquellos que no se modifican sin importar las ventas de producción

     Como ejemplo, el salario, alquileres, seguros, impuestos inmobiliarios, etc

Una función Costo de la forma C(x) = mx + b, se le llama una función de costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente “m”, es  el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.

Ejemplo

El costo diario de la empresa” Huaranchal SA”, en producir “x” mesas de madera es:

C(x) = 50x + 120 soles, donde C es medido en soles, y “x” es medido en número de mesas, más precisamente: m = 50 que es el costo marginal, 50x es el costo variable y el costo fijo es “b” = 120

Función Ingreso

El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se le llama ingreso bruto. Si I(x) es el ingreso por vender “x” artículos al precio de “m” cada uno, entonces I es la función lineal I(x) = mx, y el precio de venta “m”, se puede llamar también ingreso marginal.

Ejemplo

Suponga que la editorial del señor Yánez vende sus libros de Razonamiento Matemático a una detallista por 6.50 soles por unidad, entonces el ingreso para la editorial por la venta de “x” libros es: I(x) = 6,50(x) soles, el ingreso marginal por libro es “m” = 6,50 soles.

Función Utilidad

La Utilidad, es el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos después de restar los costos. Si la utilidad depende linealmente en el numero de artículos, entonces la pendiente “m”, se le llama utilidad marginal.

La utilidad, el ingreso y el costo son relacionados por la siguiente fórmula:

Utilidad = Ingreso – Costo

                                                               U           =      I      -        C

Si la utilidad es negativa, por ejemplo -200 soles, se denomina pérdida (de 200 soles en este caso).

El equilibrio, salir a la par, es decir no tener ganancias in pérdidas. De esta forma ocurre cuando la U =0, o I =C . El punto de equilibrio es el número de artículos “x” a lo cual presenta el equilibrio.

Ejemplo

Si representamos las siguientes ecuaciones como el costo y el ingreso de una empresa que produce y venda puertas de madera semanalmente.

C(x) = 70x + 180

I(x) = 300x, entonces la utilidad quedaría expresada de la siguiente forma:

U(x) = I(x)  - C(x)

U(x) = 300x- (70x +180)

U(x) = 230x – 180.

CASOS DIDÁCTICOS

Lea atentamente cada una de las situaciones y resuelva cada uno de los problemas planteados sobre aplicaciones de funciones lineales.

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 01

En el centro quiropráctico Ray por la consulta se cobra S/. 25 y por cada sesión de tratamiento se cobra S/. 35. Un paciente requiere de n sesiones de un determinado tratamiento.

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1. Identifica las variables relacionadas a los servicios que ofrece el centro quiropráctico, asígnale una notación a cada una y cita su respectiva unidad. Asimismo, confirma la relación de dependencia entre las variables e indica la variable independiente y la variable dependiente.

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1. Determina la expresión matemática que represente el costo de los servicios que ofrece dicho centro quiropráctico a un paciente que requiere de varias sesiones.

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 02

El  valor de un automóvil  nuevo se deprecia  linealmente $ 500  por año y  tiene  un precio de  $ 9 000 después de cuatro años.[pic 6]

1. Escribe una función que determine su valor, si “x” es el tiempo de uso del automóvil en años.
2. ¿Cuál fue el precio de compra del vehículo?
3. ¿Cuántos años pasarán para que el vehículo valga la mitad de su precio original?

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 03

LA FUNCIÓN DEMANDA

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