Matemáticas Avanzadas

Objetivo:

Plantear las bases de la aplicación matemática y su relación con el comportamiento físico en el ambiente que nos rodea, hacer uso de conceptos matemáticos para el modelado de situaciones.

Procedimiento:

1. Con una computadora con acceso a internet, accedí a la Blackboard para consultar el tema y las actividades correspondientes.

2. Una vez que leí el tema me encargué de realizar la actividad pendiente.

3. Seguí las siguientes instrucciones dentro del caso:

a. Investiga en libros relacionados a nuestra materia (puedes hacer uso de los libros de apoyo o del libro de texto, también puedes utilizar alguna fuente confiable en Internet), la definición y uso principal de las coordenadas esféricas. Proporciona al menos dos ejemplos de su uso.

b. Para el par de funciones vectoriales dados u(t) = t^2 cos(t^3)i + sen(t)j + tk y v(t) = 4^(t-2)i + 3 - e^(t+4) k, calcula lo siguiente:

i. Suma y resta de u y v.

ii. Derivada de cada una de las funciones vectoriales.

iii. Derivada U.V

iv. La integral de u(t).

4. Redacté los resultados pertinentes.

5. Analicé los resultados para obtener una conclusión.

Resultados:

• Para el caso de las coordenadas esféricas, haré un recordatorio directo de la tarea anterior:

Las coordenadas esféricas es un sistema en el cual un punto (objeto) es representado por un trío ordenado. Este trío está conformado por distancia, y dos ángulos. Demasiado parecido al sistema longitud latitud

Dicho lo anterior tenemos que el trío ordenado será el siguiente (p, ө, ǿ). Dónde:

• p es la distancia de P al origen p><0

• ө es el mismo ángulo usado en las coordenadas cilíndricas para un r>0

• ǿ es el ángulo entre el semieje z positivo y el segmento recto OP, 0 > ǿ < π.

Se pueden efectuar diversas transformaciones entre los diversos sitemas de coordenadas con estas ecuaciones:

Esféricas a rectangulares

X =p sen Ф cos ө, y= p sen Ф sen ө, z = p cos Ф.

Rectangulares a esféricas

P2= x2 + y2 + z2, tg ө=y/x, Ф= arcos (z/√ x2 + y2 +z2).

Esféricas a cilíndricas (r>0)

r2 =p2 sen2 Ф, ө = ө, z = p cosФ.

Cilíndricas a esféricas

P= √r2 + z2, ө = ө, Ф = arcos (z / √r2 + z2).

Las coordenadas esféricas en su mayoría son utilizadas para analizar eventos físicos en el mundo que nos rodea, podemos hacer o efectuar simples operaciones para calcular la trayectoria de una pelota, o bien incluso calcular y pronosticar trayectorias sobre objetos fuera del planeta (siempre y cuando se vean afectados por la gravedad de los cuerpos).

Con amplias aplicaciones en la cartografía para eliminar discrepancias entre los mapas que usamos y lo que en realidad es. De la misma manera se pueden usar para modelar situaciones o casos de estudio para obtener una idea aproximada de como es el movimiento (a nivel físico) dentro de nuestro ambiente, haciendo uso de las matemáticas aplicadas.

• Análisis del par de funciones:

Primero efectué las integrales y las derivadas pues me pareció lo más familiar de hacer, las cuales fueron hechas mediante reglas para evitar todo un procedimiento innecesario y dejar expresados los resultados, entendiendo que para estos casos especiales se deben integrar y derivar cada componente de la función vectorial de forma individual. En seguida realicé los incisos restantes, sin embargo no entendí muy bien los resultados, actualmente, no cuento con el conocimiento para interpretarlos, y tampoco puedo garantizar que sean correctos, especialmente en el producto punto.

Conclusiones:

Esta tarea no fue complicada en sí misma, pues para la parte de las integrales y derivadas bastaba con el uso de las reglas para obtener un resultado rápido y correcto (creo yo). Sin embargo para el otro apartado, el de operaciones con funciones vectoriales, no tengo muy en claro lo que se supone debo efectuar, pues a pesar de que se trataba de seguir las reglas expresadas en Blackboard que luego cotejé en un libro (para saber si eran iguales).

No comprendo en realidad si los resultados son correctos, pues en primer lugar al tratarse de una suma y resta de funciones, en características básicas, me parece que los resultados pueden quedar expresados como lo he marcado, sin embargo no sé si sea correcto, intenté reducir a las mínimas expresiones sin embargo no encontré una manera de efectuarlo, así que puedo asumir dichas funciones como el resultado de las operaciones.

El mayor de los problemas, se me presentó en el producto punto de las derivadas de las funciones, no sé si sea correcto ese resultado, aunque solo se trataba de seguir reglas, no supe exactamente cómo aplicar esta, pues en Blackboard tampoco está claro.

Sin embargo sería de ayuda también explicar el para qué sirve calcular la derivada o integral de una función vectorial, hablo en casos prácticos, por ejemplo, como los casos propuestos en la tarea anterior para las coordenadas

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