Microbiologia

TRIGONOMETRIA IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS pagina 39

pagina 40 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE

Į

x

y

r

figura 31

3

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

3.1 FORMULAS FUNDAMENTALES

La base del estudio de este inciso esta en las siguientes 11 formulas que a continuacion se van a

deducir, llamadas formulas trigonometricas.

Se parte de las definiciones elementales (las cuales se estudiaron en la secundaria) de cada una

de las funciones trigonometricas, referidas a la figura 31.

;

sen y

r

Į = cos x

r

Į =

;

tan y

x

Į = cot x

y

Į =

;

sec r

x

Į = csc r

y

Į =

3.1.1) FORMULAS DE LOS INVERSOS O DE LOS RECIPROCOS

Un numero es el inverso de otro, respecto de cierta operacion, si al operar ambos entre si dan

como resultado el elemento neutro de esa operacion.

Por ejemplo: en la suma el elemento neutro es el cero, ya que el cero no altera o deja inalterado

a todo numero. De manera que el inverso del numero + 14 es el - 14, ya que al operar ambos dan

como resultado el cero (el elemento neutro de la suma). Por eso se le llama inverso aditivo . En

la multiplicacion, el elemento neutro es el uno, ya que el uno deja inalterado en la multiplicacion

TRIGONOMETRIA IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS pagina 41

1 sen 1

csc

Į

Į

› = 2 cos 1

sec

Į

Į

› =

3 tan 1

cot

Į

Į

› = 4 cot 1

tan

Į

Į

› =

5 sec 1

cos

Į

Į

› = 6 csc 1

sen

Į

Į

› =

a cualquier numero. De manera que el inverso de 8 es 1/8, ya que al multicarlos da como resultado

el uno (el elemento neutro de la multiplicacion). Por eso se le llama inverso multiplicativo .

Un sinonimo de inverso multiplicativo es reciproco .

De tal manera que el significado que a las siguientes seis formulas se le va a dar al termino inverso

es el de inverso multiplicativo , o sea que multiplicadas entre si dan el elemento neutro de

la multiplicacion: el uno. Por otra parte, cabe recordar que si un numero n es el inverso multiplicativo

de otro numero m, lo que significa que nm = 1, entonces puede escribirse por simple despeje

que

o bien

n 1

m

= m 1

n

=

Puede verse en las relaciones trigonometricas de la pagina 40 que la funcion seno y la funcion

cosecante son reciprocos o inversos multiplicativos, ya que de su multiplicacion se obtiene

1 ; igualmente el coseno con la secante son inversos multiplicativos, ya que de su y r

r y

i =

multiplicacion se obtiene x r 1 y de la misma forma la tangente con la cotangente tamr

x

i =

bien lo son, ya que de su multiplicacion se obtiene 1 . De manera que las primeras y x

x y

i =

seis formulas trigonometricas, llamadas por eso de los inversos o reciprocos , son:

pagina 42 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE

7 sen tan

cos

Į

Į

Į

› =

8 cos cot

sen

Į

Į

Į

› =

A las formulas anteriores tambien se les conoce con el nombre de formulas de los reciprocos ya

que, en particular, a los inversos multiplicativos se les llama reciprocos. Dos numeros son reciprocos

si se invierten respectivamente el numerador con el denominador. Por ejemplo, 3/4 y 4/3

son reciprocos; 2/9 y 9/2 son reciprocos. Es claro que si se multiplican entre si dan la unidad, o

sea el elemento neutro de la multiplicacion, por lo que, conforme a la definicion de la pagina 40,

los reciprocos son tambien inversos. !Cuidado: los inversos son tambien reciprocos solamente

en la multiplicacion!.

3.1.2 FORMULAS DEL COCIENTE

Dividiendo el seno entre el coseno (ver figura 31, pagina 40) se tiene que:

y

sen r yr y tan cos x xr x

r

Į

Į

Į

= = = =

e inversamente, dividiendo el coseno entre el seno se obtiene:

x

cos r xr x cot sen y yr y

r

Į

Į

Į

= = = =

De manera que las siguientes dos formulas, llamadas del cociente, son:

3.1.3 FORMULAS DE LOS CUADRADOS O PITAGORICAS

Aplicando el teorema de Pitagoras a la figura 31 de la pagina 40, se tiene que

(A) r2 = x2 + y2

TRIGONOMETRIA IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS pagina 43

›9 sen2ƒÆ + cos2ƒÆ =1

a) Dividiendo la igualdad (A) entre r 2 , aplicando la propiedad de las igualdades: "Lo que se

haga de un lado debe hacerse del otro lado para que la igualdad se conserve", se obtiene:

2 2 2

2 2 2

r x y

r r r

= +

simplificando:

2 2

2 2 1 x y

r r

= +

que se puede escribir como

2 2

1 x y

r r

= . . + . . . . . .

. . . .

pero como

y ademas (ver figura 31, pagina 40)

x cos

r

= Į y sen

r

= Į

se llega a la novena formula que es

Significa que para cualquier anguloĮ , la suma del seno cuadrado de ese angulo mas el coseno

cuadrado del mismo angulo siempre va a dar la unidad. El alumno puede probarlo con su

calculadora, por ejemplo, para Į = 37 , realizar las operaciones ( )2 ( )2 para sen 37 + cos 37

comprobar que el resultado es 1.

b) Dividiendo la igualdad (A) , pagina 42, entre x2 , aplicando la propiedad de las igualdades:

"Lo que se haga de un lado debe hacerse del otro lado para que la igualdad se conserve",

se obtiene:

2 2 2

2 2 2

r x y

x x x

= +

simplificando:

pagina 44 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE

›10 sec2ƒÆ = tan2ƒÆ + 1

2 2

2 2 r 1 y

x x

= +

que se puede escribir como

2 2

r 1 y

x x

. . = + . . . . . .

. . . .

pero como

y ademas (ver figura 31, pagina 40)

r sec

x

= Į y tan

x

= Į

se llega a la decima formula que es

c) Dividiendo la igualdad (A), pagina 42, entre y2 , aplicando la propiedad de las igualdades

(ley Uniforme): "Lo que se haga de un lado debe hacerse del otro lado para que la

igualdad se conserve", se obtiene:

2 2 2

2 2 2

r x y

y y y

= +

simplificando:

2 2

2 2 r x 1

y y

= +

que se puede escribir como

2 2

r x 1

y y

. . . .

. . = . . +

. . . .

pero como

TRIGONOMETRIA IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS pagina 45

›11 csc2ƒÆ = cot2ƒÆ +1

›9 sen2ƒÆ + cos2ƒÆ =1

›10 sec2ƒÆ = tan2ƒÆ +1

›11 csc2ƒÆ = cot2ƒÆ +1

y ademas (ver figura 31, pagina 40)

r csc

y

= Į x cot

y

= Į

se llega a la decimoprimera formula que es

En resumen, las ultimas tres formulas son

3.2 DEMOSTRACIONES

Dada una proposicion trigonometrica, demostrarla consiste en transformarla hasta convertirla

en una igualdad que sea cierta sin lugar a dudas.

Esas transformaciones deben apegarse a ciertas reglas obvias de la Logica, como el hecho de

que "de algo dudoso se obtiene algo dudoso" o que "de algo falso se obtiene algo falso". Por

ejemplo, si se establece el siguiente razonamiento:

- Donde hay vida, hay muerte.

- En la Galaxia Andromeda hay vida.

- Por lo tanto, la muerte existe en la Galaxia Andromeda.

Alguien que haya razonado de la manera anterior puede afirmar que ha demostrado que en la

Galaxia Andromeda se da la muerte; sin embargo, su procedimiento se baso en una premisa

dudosa: En la Galaxia Andromeda hay vida , por lo que su conclusion es dudosa. Es decir, en

este momento no se sabe con certeza si realmente existe vida o no por esos lugares, como pueda

ser que si, pueda ser que no, por lo tanto es dudosa su conclusion de que la muerte existe en la

Galaxia Andromeda.

pagina 46 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE

Para que una igualdad trigonometrica quede demostrada se debe llegar a:

1) una identidad, es decir, a algo igual a si mismo; o bien

2) a una cualquiera de las formulas trigonometricas.

De lo dudoso solamente se pueden obtener cosas dudosas.

Otro ejemplo, si se establece el siguiente razonamiento:

- Los carnivoros se alimentan de frutas.

- El leon es un magnifico carnivoro.

- Por lo tanto, el leon se alimenta de frutas.

Alguien que haya razonado de la manera anterior puede afirmar que ha demostrado que el leon

se alimenta de frutas; sin embargo, su procedimiento se baso en la premisa falsa Los carnivoros

se alimentan de frutas , por lo que su conclusion es falsa.

De lo falso solamente

...