Razones Trigonometricas

Contenido

1. Introducción 3

1.1. Ángulos en grados y radianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. La función sen(x) 4

2.1. El valor del seno para algunos ángulos comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. El valor del seno para 30± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. El valor del seno para 45± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4. El valor del seno para 60± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5. El valor del seno para 120± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6. El valor del seno para 135± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.7. El valor del seno para 150± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.8. El valor del seno para 210± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.9. El valor del seno para 225± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.10. El valor del seno para 240± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.11. El valor del seno para 300± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.12. El valor del seno para 315± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.13. El valor del seno para 330± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.14. Construcción de la gráfica del seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.15. Propiedades básicas de la función sen(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. La función cos(x) 26

3.1. El valor del coseno para valores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. Gráfica de la función coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3. Propiedades básicas de la función cos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. La función tan(x) 32

4.1. El valor de la Tangente para valores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2. Gráfica de la función tan(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3. Propiedades básicas de la función tan(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5. La función cot(x) 35

5.1. Gráfica de la función cot(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2. El valor de la cotangente para valores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.3. Propiedades básicas de la función cot(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2

6. La función sec(x) 37

6.1. Gráfica de la función sec(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.2. El valor de la secante para valores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.3. Propiedades básicas de la función sec(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7. La función csc(x) 39

7.1. Gráfica de la función csc(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.2. Propiedades básicas de la función csc(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8. Resumen de valores comunes 41

9. Relaciones trigonométricas 42

10. Funciones trigonométricas inversas 43

10.1. La función arc sen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

10.2. Gráfica de la función arc sen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

10.3. La función arc cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

10.4. Gráfica de la función arc cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

10.5. La función arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

10.6. Gráfica de la función arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

10.7. La función arccot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

10.8. Gráfica de la función arccot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

10.9. La función arcsec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

10.10.Gráfica de la función arcsec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

10.11.La función arccsc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

10.12.Gráfica de la función arccsc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

11. La función a sen(bx + c) + d 47

12. La función a cos(bx + c) + d 48

13. La función a tan(bx + c) + d 49

14. Funciones hiperbólicas 50

15. Identidades trigonométricas 51

16. Aplicaciones 52

1 Introducción

Las funciones trigonométricas tienen una larga historia y lista de aplicaciones, en esta lección aprenderemos

a encontrar los valores más comunes de la funciones trigonométricas básicas, como seno; coseno;

tangente; cotangente; secante; cosecante. También aprenderemos a dibujar sus gráficas, y listaremos

algunas de sus propiedades más básicas.

1.1. Ángulos en grados y radianes

Las dos maneras más comunes de denotar un ángulo es por grados y por radianes(números reales). La

relación que tienen los ángulos con los radianes se muestra en la siguiente tabla.

Valores entre grados y radianes más comunes

0± 30± 45± 60± 90± 120± 135± 180± 270± 360±

0 ¼

6

¼

4

¼

3

¼

2

2

3¼

3

4¼ ¼

3

2¼ 2¼

2 La función sen(x)

La función seno puede ser definida de diferentes maneras, la forma más común de hacerlo es a partir

de un triángulo rectángulo.

La función seno de un ángulo ® se define, como el cociente del cateto opuesto al ángulo ®, sobre la

hipotenusa del triángulo.

Sen(®) = a

c

a

a

b

c

Figura 2: El valor del seno y coseno en el círculo unitario.

2.1. El valor del seno para algunos ángulos comunes

Para calcular el valor del seno en algunos ángulos comunes, hay que trasladar al triángulo en consideración

al círculo unitario, ya que de esta manera se podrán obtener algunos valores de la función seno

de forma explícita. Como sen(®) = a

c

donde a es el cateto opuesto y c la hipotenusa, por ser el círculo

unitario c = 1. Por lo tanto sen(®) es igual a la longitud del segmento rojo de la figura 2.

2.1. El valor del seno para algunos ángulos comunes 5

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Círculo Unitario

1

a

SenHaL

CosHaL

Figura 2: El valor del seno y coseno en el círculo unitario.

Los valores de ángulos más simples a obtener, son los valores siguientes: 0±; 90±; 180±; 270±; 360±.

Como se observa en la figura 3, el seno toma los valores de 0; 1; 0;¡1; 0 respectivamente para estos

primeros ángulos.

2.1. El valor del seno para algunos ángulos comunes 6

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

a=0

SenH0L=0

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

a=90°

SenH90°L=1

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

a=180°

SenH180°L=0

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

a=270°

SenH270°L=-1

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

a=360°

SenH360°L=0

Figura 3: El valor del seno para 0±; 90±; 180±; 270±; 360±.

En las siguientes subsecciones calcularemos el valor explícito del seno para otros ángulos comunes.

Se trabajaran esencialmente dos triángulos, el triángulo rectángulo de 30± y 60± como ángulos internos,

y el triángulo rectángulo isosceles de 45±:

2.2. El valor del seno para 30± 7

2.2. El valor del seno para 30±

El valor del seno en ® = 30± se calcula considerando los triángulos M ACB;M ABD en círculo

unitario como se muestra en la figura 4:

1. El ángulo \BAC es el ángulo de 30±.

2. El ángulo \ACB, es de 90±, porque el triángulo M ACB es rectángulo.

3. Por lo tanto el ángulo \B, es de 60±.

4. También el ángulo \D, es de 60±, derivado del reflejo del triángulo M ACB.

5. Así el triángulo M ABD es equiangular, por lo tanto equilátero.

6. Entonces el lado DB tiene como longitud 1.

7. Como el ángulo

...