TEORIA DE CORRELACIÓN Y REGRECIÓN LINEAL

TEORIA DE CORRELACIÓN Y REGRECIÓN LINEAL

Definiciones Básicas para la Correlación

• Análisis de Correlación: Un grupo de técnicas estadísticas usado para medir el grado de relación o la intensidad de asociación entre dos (2) variables.
• Diagrama de Dispersión (Scatter Diagram) : Una gráfica que muestra la relación entre las 2 variables de interés.
• Variable Dependiente (Y): La variable que se predice o estima. Se traza en el eje vertical, o eje “Y” o abscisas.
• Variable Independiente (X): La variable que se usa para hacer la predicción o estimación. Es la que proporciona las bases para predecir la variable “Y”.

El Coeficiente de Correlación, (r): (r de PEARSON), describe el grado de intensidad de la relación lineal entre dos variables.

• Puede tomar cualquier valor entre   -1.00 a +1.00.
• Un valor calculado  de r de  -1.00 ó +1.00 indican una perfecta y fuerte correlación.
• Un valor calculado de  indica que la variable independiente X y la variable dependiente Y están perfectamente relacionadas en forma lineal negativa.[pic 1]
• Un valor calculado de  indica que la variable independiente X y la variable dependiente Y están perfectamente relacionadas en forma lineal positiva.[pic 2]
• Cuando el r de PEARSON igual a cero (0) indica que no existe relación de dependencia entre las dos variables
• Un r  cercano a 0,0 indican una débil correlación.

Coeficiente de Determinación

• El Coeficiente de Determinación, r2 – la proporción de las variaciones totales en la variable dependiente Y que es explicada (no causada) o atribuida a las variaciones en la variable independiente X.
• El coeficiente de determinación es el cuadrado del coeficiente de correlación, y varía de 0 a 1.00.

Diagrama de dispersión que señalan correlación Nula, Débil y Fuerte

[pic 3][pic 4]

[pic 5]

Fórmula para Determinar el Coeficiente de Correlación de Pearson (r)

[pic 6]

Donde:

[pic 7]

        [pic 8][pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Contraste de Hipótesis de la Correlación

El coeficiente de correlación muestral es una medida descriptiva de la relación lineal en una muestra. También se puede utilizar para contrastar la hipótesis de que no existe una relación lineal en la población entre un par de variables aleatorias; es decir,
[pic 15]

Esta hipótesis nula de que no existe una relación lineal entre dos variables aleatorias es muy interesante en algunas aplicaciones. Cuando se calcula r muestral a partir de datos es muy probable que el resultado sea diferente de 0 aunque la correlación poblacional sea 0.

Estadística de prueba:

[pic 16]

Sigue una distribución t de student con (n-2) grados de libertad.

Sea r el coeficiente de correlación muestral, calculado a partir de una muestra aleatoria de n pares observados de una distribución normal conjunta. Los siguientes contrastes de la hipótesis nula

[pic 17]

Tiene un valor de significancia α:

1. Para contrastar H0 frente a la hipótesis alternativa

[pic 18]

La regla de decisión es

[pic 19]

1. Para contrastar H0 frente a la hipótesis alternativa

[pic 20]

La regla de decisión es

[pic 21]

1. Para contrastar H0 frente a la hipótesis alternativa

[pic 22]

La regla de decisión es

[pic 23]

El valor  es el número para el que   donde la variable aleatoria  sigue una distribución t de student con (n-2) grados de libertad.[pic 24][pic 25][pic 26]

Análisis de Regresión por el método de mínimos cuadrados

Definiciones Básicas para el Análisis de Regresión

Análisis de Regresión: Técnica empleada para desarrollar la Ecuación de la Recta.  Su propósito es determinar la Ecuación de la Línea de Regresión.

Ecuación de regresión: Expresión matemática que define la relación entre dos variables. Se utiliza para predecir el valor de la variable Dependiente (Y) basada en los valores de la Variable Independiente (X).

Principio de Mínimos Cuadrados: Técnica empleada para obtener la ecuación de Regresión, minimizando la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los valores “Y” verdaderos y los valores pronosticados de “Y1”

Consideraciones Básicas para el Análisis de Regresión Lineal

1. Para cada valor de X existe un grupo de valores Y, y estos valores se distribuyen en forma normal,
2. Las medias de estas distribuciones normales de valores Y se encuentran todos en la línea de regresión,
3. Las desviaciones estándares de dichas distribuciones normales son iguales,
4. Los valores Y son estadísticamente independientes

Forma General de la Ecuación de Regresión Lineal

[pic 27]

Donde:

[pic 28]

a =Es la ordenada de la intercepción con el eje "Y" cuando X=0.Corresponde al valor estimado de Y1, donde la Recta de regresión cruza el eje Y cuando X=0

b=Es la Pendiente de la Recta, o sea, el cambio promedio en Y1 por unidad de cambio (incremento o disminución) en la variable independiente X.

 X= Es cualquier valor seleccionado de la variable independiente.

Los valores de a y b en la ecuación de regresión se les denominan Coeficientes de regresión estimados.

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