Teoria de probabilidad

TEORIA DE PROBABILIDAD

JAIME POLANIA PERDOMO

Estadístico U.N

Especialista en Sistemas U.N.

Magister en Tecnologías TEC Monterrey, México

Universidad Surcolombiana

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Programa de Matemáticas Aplicada

Neiva, Agosto de 2023

PRESENTACIÓN

La estadística inferencial se apoya en los principios de la probabilidad para permitir realizar estimaciones basadas en muestras hacia las características de una población.

De por si es muy complejo investigar a las poblaciones enteras, por lo que se espera que las muestras hayan sido bien definidas, calculadas y seleccionadas de forma tal que sean una representación de la población de la que se pretende investigar, sobre todo porque la idea es que se generalice los resultados obtenidos de las muestras a toda la población por lo que se debe ser muy cuidadoso al calcular y seleccionar la muestra. 

Luego, las probabilidades se ocupan de medir de manera cuantitativa la posibilidad de que un evento o suceso se presenta en un proceso aleatorio.

Es decir, se apoya en el análisis combinatorio, identificando la relación entre sucesos posibles de ocurrir y el total de sucesos posibles.

Para aplicar estos métodos de inferencia estadística se requiere del manejo conceptual de algunos términos, que se definen a continuación

DEFINICIONES BASICAS DE CONJUNTOS

1. Conjunto: Es una recolección de objetos, donde los objetos se llaman elementos del conjunto, por ejemplo, se tienen los siguientes conjuntos:

A:   temperatura (en grados) promedio en Neiva en un día cualquiera.

A:   30, 31, 32, .......40

B: Número de materias perdidas en la carrera.

B: 1, 2, 3, ......n

2. Conjunto Unitario: Compuesto por un solo elemento.

3. Conjunto Vacío: Es el que no tiene elementos, se designa por Φ .

4. Si un conjunto A contiene uno o más elementos del conjunto B, y si todo elemento de A es un elemento de B, entonces se dice que A es un subconjunto de B.

5. La unión de dos conjuntos A y B,  consiste de todos los elementos que pertenecen a A o a B, o tanto a A como a B. Se usa como símbolo U. por ejemplo, el número de materias perdidas en el semestre anterior, donde A: 0, 1, 2, 3,  y el número de materias perdidas en la carrera, designadas por B: 2,3, 4,5,6,7 luego la unión de los dos conjuntos será:

A u B: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7 .

Se puede ilustrar mediante el siguiente diagrama:

[pic 1]

6. La intersección de dos conjuntos A y B, consiste de todos los elementos que está tanto en A como en B, se designa como n.  Tomando el ejemplo anterior, la intersección de los conjuntos A y B, será: A Ո B: 5, 10 : {todas las hectáreas cultivadas en arroz y en producción}.

7. Si el conjunto de A es un subconjunto del conjunto universal, (U) el complemento de A es otro subconjunto del universal y consiste de los elementos del universal (U), que no están en A.  El diagrama será:

[pic 2]

EXPERIMENTO ALEATORIO

Es la repetición de pruebas o ensayos, realizados bajo las mismas condiciones, donde se pretende construir un modelo que mida de alguna manera la observación de un fenómeno. El resultado de un experimento no se puede predecir de antemano.

Por ejemplo, se tienen los siguientes experimentos:

E1: Lanzamiento de una moneda una vez

E2: Cantidad de basura producida por familia en Neiva en un período (en Kg).

E3: Precipitación caída en una región (en m.m).

E4: Seleccionar un estudiante de un grupo.

E5: Lanzamiento de un dado una vez.

E6. Nota de un estudiante en el parcial1 de Toería

ESPACIO MUESTRAL

Corresponde al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento, en donde cada uno de sus resultados se llama punto muestral.  Por ejemplo: Los espacios muestrales de los experimentos definidos anteriormente:

S1: { C, S}. Dos resultados posibles. Contable o Finito

S2: {1kg, 2,5, 3,7, 4,0,.......}.  Infinitos resultados o Incontable

S3: {500, 1.000, 1.250, 1.480....}. Infinitos resultados

S4: {e1, e2,......e12}. 12 resultados posibles. Contable o finito

S5: {1, 2, ........,6}. seis resultados posibles. Contable

S6:{0.0, ..1.0, 2.0,………5.0}. Infinito

Cada resultado posible de un S se llama un punto muestral

SUCESO / EVENTO

Es un subconjunto del espacio muestral o un subconjunto de resultados posible. Generalmente se denota por A, B, C, .... etc. Algunos sucesos asociados a los espacios muestrales anteriores:

A1:   {caiga sello} = {S}. un resultado posible

A2:   {100 Kg}

A3:   {1.250 m.m}

A4:   {e5}

A5:  {caiga el número 4}

A6: {3.0}

A es un subconjunto de un S asociado a un E

AS Asociado a un E[pic 3]

ANALISIS COMBINATORIO

El número de puntos muestrales en espacios muestrales en algunos casos no es muy grande y así la enumeración o cuenta directa es fácil de realizar; pero hay sucesos complejos donde sus resultados son tediosos para enumerarlos y para facilitar esto se acude a los principios básicos del análisis combinatorio.  Se definen 3 procedimientos:

1.        Principio de multiplicación (diagrama de árbol)

2.        Permutaciones

3.        Combinaciones

1. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

Se tiene un primer suceso que puede presentarse de n maneras diferentes y un segundo suceso que puede realizarse de  formas diferentes, entonces el total de formas diferentes en que ambos sucesos se pueden realizar será de  formas diferentes.[pic 4][pic 5]

Ahora, si un  evento puede realizarse de  maneras diferentes, entonces todos los eventos se pueden presentar en el orden de  maneras diferentes. [pic 6][pic 7][pic 8]

Ejemplo 1: Una persona tiene  camisas y  pantalones. Luego, el total de formas diferentes, que puede combinar para vestirse será de  maneras de escoger una camisa y un pantalón.[pic 9][pic 10][pic 11]

Mediante un diagrama de árbol será:

[pic 12]

Ejemplo 2: Cuantas formas diferentes hay de ir de Neiva a Bogotá y de Bogotá a Medellín si hay  caminos de Neiva a Bogotá y  de Bogotá a Medellín.[pic 13][pic 14]

 maneras diferentes.[pic 15]

2. PERMUTACION

Es una ordenación de una parte o de todos los elementos dentro de un conjunto en un orden definido.

Se identifican dos casos de permutaciones:

a).        Se tienen n objetos diferentes y deseamos ordenar todos a la vez, luego el número total de permutaciones será:

 En donde .[pic 16][pic 17]

 se define como  y .[pic 18][pic 19][pic 20]

Por ejemplo: [pic 21]

b.        Se tienen  objetos diferentes y deseamos ordenar  donde , luego el número total de permutaciones será:[pic 22][pic 23][pic 24]

.[pic 25]

Por ejemplo:

.[pic 26]

Ejemplo: Se van a aplicar  tratamientos diferentes a  parcelas cultivadas en sorgo.  ¿De cuantas maneras se pueden asignar?[pic 27][pic 28]

 maneras diferentes.[pic 29]

Ahora, si los  tratamientos diferentes se les asignan a  parcelas diferentes. De cuantas maneras se puede asignar.[pic 30][pic 31]

 maneras diferentes.[pic 32]

3. COMBINACION

Es la selección de una parte o de todos los objetos de un conjunto sin considerar el orden.

 Se presentan dos casos:

a.        Cuando se quiere tomar conjuntos de elementos tomando una parte, corresponde a:

. ;   n!= n(n-1)(n-2)……2.1=n(n-1)![pic 33]

  (x≤n)                                   0!=1, 1!=1

Por ejemplo:  maneras diferentes.[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 34]

 ===220[pic 39][pic 40][pic 41]

b.         Cuando se quieren tomar conjuntos de elementos tomándolos todos, se define:

.=1 [pic 42]

Por ejemplo: [pic 43]

Ejemplo: Retomando el ejemplo de permutación, pero los tratamientos se quieren aplicar a dos parcelas iguales. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden asignar los tratamientos?

  maneras diferentes.[pic 44]

...