Trabajo Final- Diagramas de Control

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Universidad Complutense de Madrid

“Trabajo Final- Diagramas de Control”

Control de Calidad 800658

Ejercicio 13

Carolina Maciel Serra

5/junio/2015

INTRODUCCIÓN

En un proceso de producción, se recogen muestras del producto fabricado de tamaño n = 5 y se mide una cierta característica de calidad continua distribuida normalmente. A continuación se encuentran los datos de 30 muestras preliminares sucesivas de mediciones de la variable en cuestión. Las especificaciones sobre este producto son LSL = 5000 y USL = 6000.  

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Para comenzar debemos asegurarnos que el proceso de producción este bajo control y de no ser así, realizar lo necesario hasta tener el proceso bajo control y poder proseguir con el análisis. La herramienta que utilizaremos serán los diagramas de control propuestos por Shewhart los cuales nos permiten observar los estados de control del proceso y por consiguiente la variabilidad.

Como los valores de µ y σ son desconocidos, debemos estimarlos. Empezamos sacando la media de las muestras, la varianza y la desviación típica. Y obtenemos el promedio de las 30 muestras para tener un único valor de media, varianza y desviación respectivamente.

Para construir los límites de control, necesitamos también una estimación de la desviación estándar σ. Es posible obtener esta estimación ya sea a partir de las desviaciones típicas Si o de los rangos Ri.

Con el fin de comprobar que la desviación estándar obtenida por rangos o por desviaciones típicas son similares, utilizaremos las dos formas. La diferencia radica en que al utilizar S se estima la desviación estándar del proceso directamente en vez de indirectamente a través de R.

Suele utilizarse S cuando el tamaño muestral n es moderadamente grande (n > 10) o el tamaño muestral n es variable, por lo que en este caso nos convendría utilizar R ya que no cumple con ninguna de las condiciones anteriores. Aun así realizaremos los diagramas para ambas.

Entonces lo primero que debeos hacer es crear otra columna con los valores de Ri los cuales se forman seleccionando las 5 tomas de cada muestra y restando el máximo valor menos el mínimo valor. Corremos la formula hacia abajo, sacamos el promedio de los 30 datos y ya tenemos nuestras filas completas para poder comenzar a generar nuestros límites de control para cada diagrama.

Es importante resalta que iniciamos haciendo los diagramas de control para las muestras y después de observar que el proceso esté bajo control tomaremos los datos para formar el diagrama de control de las medias x, ya que x depende de la variabilidad del proceso, y a menos que se compruebe que esta está bajo control los límites de control obtenidos para la media muestral x carecerán de sentido.

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Para obtener las desviaciones estándar de R y S se utilizan las siguientes formulas respectivamente:

Donde los factores d2, d3 y c4 son extraídos de tablas, con n=5 d2=2.326, d3=0.864 y c4 =0.9412.[pic 4]

• Para S

Dividimos nuestro valor promedio de S por la constante c4 para obtener nuestra desviación estándar y procedemos a encontrar los límites de control UCL, CL y LCL, con las siguientes fórmulas.

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Como podemos observar el valor inferior es negativo por lo tanto cada vez que esto suceda utilizaremos el cero ya que no tiene sentido un proceso con datos negativos. La gráfica queda de la siguiente manera:

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Con las desviaciones de las 30 muestras se observa que la variabilidad del proceso está fuera de control. Podemos ver que la muestra número 3 con el valor de 278.51 se sale de los límites de control por lo que es necesario quitar esa muestra y repetir el procedimiento.

Nuestra tabla con los nuevos valores calculados será:

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Y con esta información podemos concluir que todos los puntos del proceso se encuentran dentro de los límites de control.

Con los diagramas de R ocurre exactamente lo mismo y debemos quitar la muestra número 3 y volver a estimar nuestros límites de control.

• Para R

Para estimar la variabilidad del proceso dividimos nuestro R promediado entre la constante d2 y para encontrar la varianza multiplicamos el número obtenido anteriormente por la constante d3. Utilizamos las siguientes fórmulas para estimar los límites de control.

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Observamos el mismo error que en el diagrama de S por lo tanto estimamos con los nuevos datos los límites de control para 29 muestras.

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Como los rangos de las 29 muestras se encuentran dentro de los límites de control, llegamos a la conclusión de que nuestro proceso hasta el momento se encuentra bajo control. Con este ejemplo nos percatamos de que existe una diferencia muy pequeña entre utilizar el diagrama de rangos o de desviaciones típicas.

• Para X

Ahora debemos utilizar la desviación estándar ya sea del diagrama R o el diagrama S para poder construir el diagrama de la x. En esta ocasión utilizaremos la desviación obtenida en el diagrama de rangos σ=94.3918. Por lo tanto nuestras estimaciones quedan de la siguiente manera utilizando las fórmulas correspondientes.

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El correspondiente diagrama de control para x que se muestra, nos permite observar que no todas las medias de las muestras preliminares se encuentran dentro de los límites, es decir, en la muestra 14 el proceso se sale de control por lo que decimos que la media del proceso se encuentra fuera de control. Así pues, debemos eliminar la muestra y volver a hacer las iteraciones necesarias tanto para el diagrama de la X como para el de la R.

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La tabla muestra los nuevos valores del diagrama de las medias con solo 28 muestras.

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Dado que nuestro nuevo diagrama fue hecho con una m=28 debeos volver a estimar los valores para crear un nuevo diagrama de la R que sea también con m=28.

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Al analizar los diagramas de control podemos ver que todas nuestras muestras permanecen dentro de los límites de control establecidos en los últimos pasos, lo que nos lleva ahora sí a la conclusión de que nuestro proceso se encuentra bajo control ya que tanto el diagrama de las x como el de R se encuentran dentro de los límites.

DESARROLLO 

A continuación realizaremos diferentes operaciones para crear un mejor análisis de nuestro proceso en base a lo visto en clase sobre el diagrama de control de Shewhart aplicado a variables y atributos, algunos otros modelos como los diagramas de control CUSUM, EWMA; los ratios de análisis de la capacidad de un proceso y por último para fundamentar la inspección de lotes de producto y la toma de decisiones utilizaremos la técnica de muestreo por aceptación.

Datos del proceso bajo control

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Utilizaremos para futuros cálculos;  = 5844.94y σ==94.3918.[pic 24][pic 25]

¿Es posible concluir que la variabilidad del proceso es tal que la distancia entre el target y los límites de especificación es de al menos 4 desviaciones típicas (usar α = 0.05)?

Ahora bien para nuestro contraste de hipótesis utilizamos las siguientes fórmulas para encontrar nuestro estadístico de contraste, sabemos por nuestro problema que el USL=6000 y el LSL=5000 además de que nuestro K debe ser igual a 4 sigma. (cuando α=0.05)

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Mi valor de holgura va a ser la distancia que existe entre mi valor de CL y los límites de especificación LSL o USL. El target representa el valor medio entre el USL y el LSL. Nuestras hipótesis quedan de la siguiente manera:

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Debido a las observaciones que tuvimos que sacar por las muestras que se salían de nuestros límites de control ahora tenemos m=28 y n=5. Por lo tanto nuestros grados de libertad para encontrar los valores de tabla de chi cuadrada será m*n. Mi matriz^2 representa la varianza de las desviaciones típicas de cada muestra.

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H0: σ2 = σ02. Para la hipótesis alternativa unilateral en el caso de nuestro problema H1: σ2 < σ02, se rechaza si el valor de Chi cuadrada es mayor que el valor de X2α, n-1.

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Por lo tanto rechazamos es decir, no hay evidencia suficiente para decir que la distancia entre el target y los límites de especificación sea de al menos 4 desviaciones típicas.

Estimar la fracción no conforme del proceso mediante un par de diagramas de control para variables. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 2 unidades defectuosas en una de las muestras? ¿Qué tamaño muestral n sería necesario para que la probabilidad de encontrar al menos una unidad defectuosa en la muestra sea 0.95? A partir del número de unidades defectuosas en las muestras disponibles, ¿es posible concluir que la fracción no conforme es menor que 0.1 (usar α = 0.05)?

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