VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (V.A.D)

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (V.A.D)

VARIABLE ALEATORIA: (X)

Los resultados de los experimentos aleatorios, cualesquiera que sean, tienen que estar expresados cuantitativamente. Para ello, hay que contar con métodos capaces de definir reglas precisas que asignen números reales a los resultados de los experimentos aleatorios, teniendo en cuenta qué se quiere medir y cómo se quiere medir.

Se llama Variable Aleatoria a una función, o regla bien definida, que asigna a cada elemento del espacio muestral, un N° Real.

Puede ser Discreta o Continua.

Por ejemplo: Al tirar una moneda, los sucesos son CARA y CECA ó al tirar 2 monedas los sucesos son 1 CARA, 2 CARAS o NINGUNA CARA, ó en un bolillero con bolillas rojas y azules, al extraer una, los sucesos son “bolilla Roja” o “bolilla azul”

Ahora si a estos sucesos le asignamos un número para identificarlos se transforman en variables aleatorias..

Por ejemplo podríamos asignarle a CARA el 0 y a CECA le asignamos 1,

O en el caso de tirar dos monedas:

Suceso Variable

NINGUNA CARA 0

1 CARA 1

2 CARAS 2

Esto se hace porque vamos a utilizar el concepto de funciones de probabilidad. Y para hablar de funciones la variable debe ser cuantitativa. Hay veces que los sucesos son directamente números.

V.A.D :

Es aquella variable aleatoria cuyo recorrido (conjunto de todos los n° Reales que se pueden asignar a X) es Finito o Infinito Numerable.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD:

Se llama Función de Probabilidad de una v.a.d a una función o modelo matemático, que asigna a cada valor de la variable un número real no negativo, llamado Probabilidad Puntual, de modo tal que la suma de todos estos valores, debe ser igual a la unidad.

De esta definición se desprenden las 2 condiciones que debe tener una FUNCION DE PROBABILIDAD de una VAD

Condición de No Negatividad: p(xi) ≥ 0

Condición de Cierre: ∑_(i=1)^∞▒〖 p(xi)〗 = 1

A cada número p(xi) se lo denomina PROBABILIDAD PUNTUAL porque es la probabilidad de que la variable X asuma exactamente, puntualmente, el valor xi

P(xi)= P(X= xi)

Una variable aleatoria Discreta, x, queda “ESTRICTAMENTE DEFINIDA” cuando se establece su Función de Probabilidad Puntual.

El conjunto de pares ordenados (xi ; p(xi)), para todo i, forma una Distribución de probabilidad puntual.

X p (X)

x1

x2

x3

.

.

.

xn p (x1)

p (x2)

p (x3)

.

.

.

p (xn)

Por Ejemplo:

Experimento, tiro 3 monedas:

Su espacio muestral es: 3Caras y 0 cecas; 2 caras y 1 Ceca; 1 cara y 2 Cecas ; 0 caras y 3 cecas

“3C” “2C” “1C” “0C”

P(ccc)= 1/8 → P(3c)= 1/8

P(ccx)= 1/8

P(cxc)= 1/8 P(2c)= 3/8

P(xcc)= 1/8

P(xxc)= 1/8

P(xcx)= 1/8 P(1C)= 3/8

P(cxx)= 1/8

P(xxx)= 1/8 → P(0C)= 1/8

X= n° de caras p (X)

0 C

1 C

2 c

3 c 1/8

3/8

3/8

1/8

Total: 1

Esta tabla representa la Función de Probabilidad de la variable “número de caras”, pues se le asigna a cada valor de la variable un número real no negativo, que es su Probabilidad Puntual. Además

Cada p(xi) ≥ 0 y ∑_(i=1)^∞▒〖 p(xi)〗 = 1

Existen modelos de Funciones:

La distribución de Bernoulli

La distribución Binomial

La distribución Hipergeométrica

La distribución de Poisson

FUNCION DE PROBABILIDAD ACUMULADA O DE DISTRIBUCION: F(Xi)

Se llama Función de Distribución de una variable aleatoria discreta, a una función que asigna a cada valor de la variable, un número real que representa la suma de todas las probabilidades puntuales, desde el primero hasta el valor en cuestión.

F (xk)= ∑_(i=1)^k▒〖 p(xi)〗

Cada número F(xk) se denomina PROBABILIDAD ACUMULADA HASTA EL VALOR XK , y representa la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual a xk

F (Xk)= P(X ≤ xk)

El conjunto de pares ordenados (xi ; F(xi)), para todo i, forma una Distribución de probabilidad Acumulada hasta un valor de la variable, o simplemente, Distribución Acumulada.

FUNCIÓN

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