QUE ES LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Muchas veces se desea resumir con un número el resultado de un experimento aleatorio. En muchos de los ejemplos relativos a experimentos aleatorios que han sido considerados hasta ahora, el espacio muestral es sólo una descripción de los posibles resultados. En algunos casos tales descripciones son suficientes, pero en otros se hace útil asociar un número con cada resultado del espacio muestral. Es así como se llega a la definición de variable aleatoria.

Una variable aleatoria X es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral Ω de un experimento aleatorio. El conjunto de los posibles valores de la variable aleatoria X se denomina rango. Diremos que la variable aleatoria es discreta si su rango es finito (o infinito contable).

A menudo el interés recae en la probabilidad de que una variable aleatoria X tome un valor particular x, esto se denota P(X=x). La distribución de probabilidad de X será entonces la descripción del conjunto de valores posibles de X (rango de X), junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es a menudo el resumen más útil de un experimento aleatorio.

Diremos que la función p(x)=P(X=x) que va del conjunto de valores posibles de la variable aleatoria X al intervalo [0, 1] es la función distribución de probabilidad para X si y sólo si se satisfacen las siguientes propiedades:

0 [pic 1] p(x) [pic 2] 1 para todo x

[pic 3]

Se define la distribución acumulada F(x) para la variable aleatoria X como

F(x) = P(X [pic 4] x) = [pic 5]

Ejemplo

   Experimento aleatorio: se lanza una moneda 3 veces

   Ω = {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss }

   Sea X : # caras observadas

La distribución anterior es una distribución de probabilidades para la variable aleatoria X, en efecto 0 [pic 10] p(x) [pic 11] 1 para todo x (x = 0, 1, 2 y 3) y además [pic 12]. Para determinar la distribución acumulada de probabilidad observe que

P(X [pic 13] 0) = P(X = 0) = [pic 14]

P(X [pic 15] 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = [pic 16] + [pic 17] = [pic 18]

P(X [pic 19] 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)  = [pic 20] + [pic 21] + [pic 22] = [pic 23]

P(X[pic 24] 3) = P(X= 0) + P(X= 1) + P(X= 2) + P(X= 3) = [pic 25] + [pic 26] + [pic 27] + [pic 28] = 1

   Se tiene entonces,

Si X es una variable aleatoria, y el experimento aleatorio que determina el valor de X se repite muchas veces, entonces se obtiene una secuencia de valores para X. A partir de esta secuencia de valores se puede identificar el valor promedio o valor esperado de la variable aleatoria X, que denotamos [pic 32], y se define en la forma siguiente:

[pic 33] = [pic 34]

Propiedades:

1. E(k)=k
2. E(kX)=kE(X)
3. E(X±Y)=E(X)±E(Y)
4. E(g(X))=∑g(x)p(x)

       e)  Si X y Y son independientes entonces E(XY)=E(X)E(Y)=μXμY

   Para el ejemplo dado, [pic 35]=[pic 36] = [pic 37]

                                      = [pic 38]

   A veces, el interés es determinar la variabilidad de la variable aleatoria. Definimos entonces la varianza de la variable aleatoria X, denotada [pic 39], ó σ2 mediante la siguiente ecuación:

V(X) = E[(X-E(X))2]   y su forma reducida es:

[pic 40] = [pic 41]

donde, [pic 42] = [pic 43]

   Para el ejemplo dado, [pic 44] = [pic 45]

                                       = [pic 46]

   Entonces, [pic 47] = [pic 48]

1. V(k)=0
2. V(kX)=k2V(X)
3. V(X±Y)=V(X)+V(Y)  si X y Y son independientes
4. V(aX+bY)= a2V(X)+b2V(Y)+2abCov(XY)  

donde Cov(XY) = E((X-μX)(Y-μY)) = E(XY)-μXμY

   La desviación estándar de la variable aleatoria X es la raíz cuadrada positiva de la varianza, es decir, σ = [pic 49].

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Un ensayo Bernoulli es un experimento aleatorio que sólo admite dos posibles resultados, denotados éxito y fracaso. La probabilidad de éxito se denota p.

Por lo tanto si denotamos el éxito por 1 y el fracaso por 0 se tiene:

P(1)= p  P(0)=1-p=q

Además se cumple:  E(X)= p   V(X)=pq

Un proceso Bernoulli es un proceso en el cual se verifican las siguientes condiciones:

El experimento aleatorio se repite n veces en idénticas condiciones

Hay sólo dos posibles resultados en cada repetición del experimento, llamados arbitrariamente éxito y fracaso

La probabilidad de éxito, denotada p, es la misma para cada repetición (permanece constante entre repeticiones)

las n repeticiones del experimento aleatorio son independientes entre sí

Consideremos ahora la variable aleatoria X: # éxitos observados en n repeticiones. Suponga que se quiere determinar la probabilidad de observar x éxitos en n repeticiones; esto es, se desea determinar P(X = x). Como lo importante es observar x éxitos en n repeticiones, el orden de ocurrencia de los mismos es irrelevante; así, para contar de cuántas formas pueden observarse x éxitos en n repeticiones empleamos las combinaciones [pic 50]. Por otro lado, como las n repeticiones del experimento son independientes entre sí y calcular P(X = x) equivale a calcular la probabilidad de una intersección de eventos (en las que cada evento corresponde a un éxito o a un fracaso), tenemos que la probabilidad de un punto muestral cualquiera asociado al experimento es [pic 51]; en definitiva:

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