Temas De Calculo II
noyuroxd21 de Agosto de 2013
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UNIVERSIDAD RICARDO PALMA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS
ÁREA DE MATEMÁTICA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
GUÍA DE PROBLEMAS DE
CÁLCULO II
2013 - I
FUNCIONES VECTORIALES
1. Hallar el dominio de las siguientes funciones vectoriales.
a)
b)
2. Determinar y describir gráficamente el rango o traza de cada una de las siguientes
funciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3. Evaluar los siguientes límites
a)
b)
c) .Rpta:
d)
e) . Rpta: f)
g) . Rpta:
h) Calcular límite
4. Analizar la continuidad de las siguientes funciones
a)
Rpta: F no es continua en t=0.
b)
c)
Rpta.- H es continua en t = 5.
5. Analizar la continuidad de la función en t = 1
Rpta.- La función es continua en t = 1
6. Analizar la continuidad en su dominio
Rpta.- La función es continua en todo su dominio.
7. Hallar la primera y segunda derivadas de las siguientes funciones, determinando su
dominio:
a) b)
c) d)
e) f)
8. Calcular la longitud de arco de las siguientes curvas:
a) . Rpta:
b) , donde
c) Una partícula se mueve en el plano según la ecuación ,
. Hallar la longitud de la trayectoria desde hasta
RECTAS Y PLANOS FUNDAMENTALES, CURVATURA Y TORSIÓN
1. Sea la curva descrita por .Hallar la ecuación
de la recta tangente a en .
Rpta: Recta Tangente
2. Hallar los tres vectores y planos fundamentales a la curva descrita por
, en .
3. Si es la curva descrita por la función , hallar
los vectores , , y la ecuación de los tres planos fundamentales
en el punto .
4. Hallar un punto de la curva descrita por la función ,
donde el plano normal es paralelo al plano
5. Hallar la ecuación de los tres planos fundamentales de la curva descrita por la
función en el punto
6.- Sea C la curva descrita por . Hallar un punto de la curva donde la recta tangente a C sea paralela al plano
7.- Una partícula se mueve en el espacio partiendo en el instante t = 0 desde el punto . En cada instante la velocidad de la partícula es .¿En que instante el vector velocidad es paralelo al vector posición de la partícula? ¿ Cruza la partícula al plano en algún instante ?
8. Si es la curva descrita por la función , hallar los
vectores , , la ecuación del plano osculador, la curvatura y la torsión en t = 0.
9. Hallar los planos: Normal, rectificante, osculador, curvatura y torsión de la curva
: en
10. Dado , calcular la Curvatura y Torsión
de en el punto donde el plano normal es paralelo al plano .
11. Hallar la ecuación de los planos fundamentales, la curvatura y torsión a la curva
, en el punto cuando .
12. Hallar la Torsión de la curva que resulta de la intersección de las superficies
; en el punto .
13.- Una curva descrita por la función vectorial se corta con el plano XZ. Determinar el plano osculador en el punto de corte.
14.- Sea C la curva descrita por la función vectorial
con k constante positivo.
a) Calcular la longitud de arco de C, desde el punto hasta el punto
b) Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DERIVADAS
VALORES EXTREMOS y APLICACIONES
1. Hallar el dominio de las siguientes funciones y bosquejar su gráfica:
a) d)
b) e)
c) f)
2. Calcular los siguientes límites ( si existen)
a) b)
c) d)
3. Analizar la existencia de los siguientes límites:
a) c)
b) d)
4. Determinar si las siguientes funciones son continuas en el origen
a) Rpta: Discontinua en (0,0)
b)
c) . Rpta: No es continua en (0,0)
d)
e)
5. Dada las siguientes funciones
a)
b)
Hallar , , ; por definición de derivada.
6. Para un fabricante de cámaras y películas el costo total de producir
cámaras , rollos de película está dado por . Las funciones de demanda para las cámaras y los rollos están dados por , , donde es el precio por cámara y por rollo de película. Encontrar la tasa de cambio del costo total con respecto al precio total de la cámara cuando y .
7. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto (1,0,9). Rpta: 3x +y- z +6=0
8. Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie
, en el punto .
9. Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto . Rpta:
10. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie ,
si este plano pasa por los puntos , y es
ortogonal al plano .
11. En qué puntos de la superficie son los planos tangentes paralelos al plano XZ.
Rpta: Los puntos son (2, 2, 0) y (-2, -2, 0)
12. Encontrar la ecuación del plano tangente a la superficie
, que es paralelo al plano que pasa por los puntos
, y es perpendicular al plano .
13. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie que es
ortogonal a la recta tangente a la curva de intersección de las superficies
, , en el punto .
14.- Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie, en el punto .
15. Dada ; , hallar los valores de las constantes
y tal que
16. Si , hallar ,
17. Si = 0, verificar que
18. Dado que , e, verificar que
, donde son variables independientes.
19. Encontrar el gradiente de las siguientes funciones:
a) , c) ,
b) , d)
20. Hallar la derivada direccional de la función en el punto y en la dirección del vector .
Rpta:
21. Si . Calcular
22. Si , determinar el valor de
23. Calcular la derivada direccional de la función ,en el punto y en la dirección de un vector ortogonal a la superficie ,en el punto .
24. Hallar la derivada direccional de la función en el punto P(1,-1,2) en la dirección del vector donde y .
Rpta: .
25.- Sea definida en (3, 4) tiene las derivadas direccionales: 3 en la dirección
al punto (4, 4); 1 en la dirección al punto (3, 2). Determinar
26.- Sea . Determinar la derivada
direccional de f en (1,1)
27.- Una función u está definida por una ecuación de la forma dado que u
satisface una ecuación en derivadas parciales de la forma
determinar
28.- Si donde u= x + y, v = y/x y ambas funciones f y g son funciones
arbitrarias demostrar. , ( es la derivada de f
respecto de u )
29.La ecuación define a z implícitamente como una función de x e y
sea esa función demostrar que
20.- Si donde es una función arbitraria de y/x demostrar
que
31.-. Hallar los valores extremos de las siguientes funciones:
a)
Rpta: Máximo en (1,-1) y f(1,-1)=32, Mínimo en (5,3) y f(5,3)=-32 y puntos de silla en (1,3) y (5,-1).
b)
c)
Rpta: Máximo en (-2/3,2/3) y f(-2/3,2/3)=170/27
d)
e)
Rpta: Mínimo en (1,1) y f(1,1)=2. Punto silla en ( ½ , ¼ )
f)
g)
h)
i)
...