GUÍA DE ESTUDIO Distribuciones probabilísticas

GUÍA DE ESTUDIO

Distribuciones probabilísticas

Generales/introducción

1. Los siguientes son los datos de los tiempos entre fallas de uno de los componentes de una maquina muy importante para una empresa, tiempo entre falla significa el tiempo en días que hay entre dos fallas del susodicho componente. El análisis fue realizado por un período de 400 días.

1. Genere la distribución probabilística de la variable tiempo entre fallas y haga el gráfico
2. Calcule las siguientes probabilidades

1. P(x<10)
2. P(x>50)
3. P(2≤x≤8)
4. P(2
5. P(2≤x<8)
6. P(2
7. P(x≥10)
8. P(x≤5)

1. Para recolectar los datos de un proyecto de investigación, un estudiante de mercadeo en una universidad pequeña en el centro de Estados Unidos contó en 50 cursos de negocios el número de estudiantes que habían comprado recientemente discos compactos. En 12 clases no encontró estudiantes que hubieran hecho dicha compra, 3 estudiantes habían comprado en 8 clases, 4 habían comprado en 9 clases, 5 en 15 clases y 7 estudiantes, de las seis clases restantes habían aumentado sus colecciones de música. El estudiante deseaba comenzar su investigación resumiendo sus datos ¿Cómo podría usted ayudarle?

1. Se lanzan tres monedas al aire y se considera la variable aleatoria número de caras obtenidas en total.

1. Genere la distribución de probabilidades de la variable aleatoria
2. Determine la media y varianza de la variable
3. Cuál es la probabilidad de no obtener caras en las monedas lanzadas
4. Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara

1. Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente función de probabilidad. Halla la esperanza y la desviación típica

[pic 1]

1. Una empresa ha medido el número de errores que cometen las secretarias recién contratadas a lo largo de los últimos tres años (X), encontrando que éstas cometen hasta cinco errores en una página de 20 líneas y que esta variable aleatoria representa la siguiente función de probabilidad:

[pic 2]

Calcule:

1. La representación gráfica de la función de probabilidad
2. El valor esperado de X
3. La varianza de X

1. La variable X = “número de pólizas vendidas por un agente de una empresa de seguros” tiene la siguiente distribución de probabilidad:

[pic 3]

Calcule:

1. Calcule el valor esperado de X
2. Calcule la varianza de X
3. ¿Cuál es la probabilidad de que el agente venda más de una póliza?
4. ¿y la de que venda menos de 3?
5. ¿y entre 1 y 4 pólizas (ambas inclusive)?

Distribución Binomial

1. En una ciudad se sabe que el 30% de los habitantes son fumadores. Se selecciona al azar un grupo de 8 personas. Calcular, indicando la variable aleatoria que se utiliza su distribución y sus parámetros, las siguientes probabilidades:

1. De que por lo menos 2 sean fumadores.
2. De que haya a lo sumo 3 fumadores.
3. De que exactamente 6 personas no fumen.
4. De que solo uno de los seleccionados fume.
5. De que fumen entre 5 y 7 personas
6. De que menos de 3 personas fumen
7. De que más de 6 personas fumen

1. En un sorteo que se realiza diariamente de lunes a viernes, la probabilidad de ganar es 0,1. Vamos a jugar los cinco días de la semana y estamos interesados en saber cuál es la probabilidad de ganar 0, 1, 2, 3, 4 ó 5 días.

1. Haz una tabla con las probabilidades.
2. Calcula la media y la desviación típica.

1. Un agente de seguros vende pólizas a cinco hombres de buena salud, todos de la misma edad. De acuerdo con las tablas actuariales de la compañía se sabe que, la probabilidad de que un hombre de esa edad particular esté vivo al cabo de 30 años es 2/3. Hallar la probabilidad de que en 30 años estén vivos:

1. Los cinco hombres
2. Sólo dos de ellos.
3. Por lo menos tres de ellos.
4. A lo sumo uno de ellos.

1. El 65% de los alumnos de un cierto instituto cursan estudios universitarios al terminar el Bachillerato. En un grupo de ocho alumnos elegidos al azar, halla la probabilidad de que estudien una carrera:

1. Alguno de ellos
2. Más de seis
3. Calcula la media y la desviación típica.

1. La doctora Richmon, una psicóloga, estudia los hábitos de los estudiantes de preparatoria de ver la televisión durante el día. Ella cree que 45% de los estudiantes de preparatoria ve telenovelas durante la tarde. Para investigar más a profundidad, se selecciono una muestra de 10 estudiantes.

1. Desarrolle una distribución probabilística para el número de estudiantes de la muestra que ve telenovelas, grafique
2. Calcule la media y la desviación estándar de la distribución
3. Cuál es la probabilidad de encontrar: 2, 4, ningún, más de 3, menos de 3, por lo menos 5 estudiantes que vean telenovelas

1. Suponga que el 60% de toda la gente prefiere la Coca Cola a la Pepsi. Suponga que seleccionamos 18 personas para un estudio.

1. Cuántas cree que prefieran Pepsi?
2. Cuál es la probabilidad de que a lo mucho a 10 prefieran Coca Cola?
3. Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 personas prefieran la Pepsi?

1. Un representante realiza 5 visitas cada día a los comercios de su ramo y por su experiencia anterior sabe que la probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita es del 0.4. Obtener:

1. El número medio de pedidos por día
2. La varianza
3. La probabilidad de que el número de pedidos que realiza durante un día esté comprendido entre 1 y 3
4. La probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos

1. Suponga que solo 25% de los automovilistas se detienen por completo en un alto con luz roja intermitente cuando no está visible otro automóvil. ¿Cuál es la probabilidad de que de 20 automovilistas seleccionados al azar se detengan:

1. A lo sumo 6 se detengan por completo
2. Exactamente 6 se detengan por completo?
3. Al menos 6 se detengan por completo?
4. Cuántos de los siguientes 20 automovilistas se espera que se detengan por completo?

1. Registros estadísticos indican que 1 de cada 10 accidentes automovilísticos se deben a fatiga del conductor. Determine la probabilidad de que de 5 accidentes automovilísticos al menos 2 se hayan debido a fatiga

1. 20% de los teléfonos se reparan cuando todavía está vigente la garantía. De estos el 60% se reparan mientras que el 40% se reemplazan. Si una empresa compra 10 de estos teléfonos, ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente sean reemplazados 2 en periodo de garantía?

Distribución de Poisson

1. A un cajero automático llegan 3 clientes por minuto. ¿Cuál es la probabilidad que en el próximo minuto lleguen:
2. 4 personas?
3. Al menos 2 personas.
4. Ninguna persona.

1. Los autores de los libros de texto y las editoriales trabajan mucho para minimizar el número de errores en un libro. Sin embargo, algunos errores son inevitables. El señor J.A. Carmen, editor de estadística, reporta que el número promedio de errores por capítulo es 0.8. Cuál es la probabilidad de que en un capítulo en particular, se presenten:

1. Menos de 2 errores?
2. Por lo menos 1 error?
3. Entre 1y 3 errores?

1. Un servicio dedicado a la reparación de electrodomésticos en general, ha observado que recibe cada día por término medio 15 llamadas. Determinar la probabilidad de que se reciban más de 20 llamadas en un día.                                                                            

1. El número medio de clientes que entran en un banco durante una jornada, es de 25, calcular la probabilidad de que en un día entren en el banco al menos 35 clientes.        

1. Los accidentes laborales diarios de una empresa siguen una distribución de Poisson de parámetro [pic 4]. Calcular las probabilidades:

1. de que en un determinado día se produzcan dos; a lo sumo dos; por lo menos dos accidentes.    
2. de que hayan 4 accidentes en una semana.
3. de que haya un accidente hoy y ninguno mañana.    

1. El número de accidentes que se producen en una vía de circulación de una ciudad es, en promedio, de dos a la semana. Determínese:

1. Probabilidad de que no se registre ningún accidente en una semana determinada.
2. Probabilidad de que se registren entre 3 y 5 accidentes en una semana determinada.

1. Al cargar una cámara con una suspensión de células, el número de ellas que se encuentra en un volumen de 0,1 mm3 es una variable aleatoria de Poisson con parámetro 8. Cuál es la probabilidad de que, al cargar 5 cámaras con la misma suspensión de células, en una sola de ellas se encuentren exactamente 2 células en el mismo volumen de 0,1 mm3?

1. El número de pinchazos en los neumáticos de cierto vehículo industrial tiene una distribución de Poisson con media 0.3 por cada 50000 kilómetros. Si el vehículo recorre 100000 km, se pide:

1. Probabilidad de que no tenga pinchazos
2. Probabilidad de que tenga menos de tres pinchazos
3. Número de km recorridos para que la probabilidad de que no tenga ningún pinchazo sea 0.4066

Distribución Normal

1. Una compañía produce un compuesto químico y está preocupada por su contenido de impurezas. Se estima que el peso de las impurezas por lote se distribuye según una normal con media 12,2 gramos y desviación típica 2,8 gramos. Se elige un lote al azar.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga menos de 10 gramos de impurezas?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga más de 15 gramos de impurezas?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga entre 12 y 15 gramos de impurezas?
4. ¿Es posible, sin hacer los cálculos, deducir cuál de las respuestas a las preguntas (a) y (b) será mayor?, ¿cómo?

1. El promedio de edad a la cual entren los estudiantes a cierta especialización en cierta universidad sigue una distribución normal con una media de 31 años y una desviación de 4 años.

1. Cuál será la probabilidad de que un alumno que se encuentra en el proceso de matriculación tenga más de 33 años
2. Si un total de 200 alumnos ingresaron el año pasado a esta especialización, indique cuántos de ellos habrán tenido más de 33 años
3. Cuál será la edad máxima dentro del 80% de los estudiantes?

1. Se sabe que el dinero que se gastan al año los estudiantes de determinada universidad en libros de texto sigue una distribución normal de media 38.000 pesetas y desviación típica 5.000 pesetas.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste menos de 40.000 pesetas en libros de texto al año?
2.  ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste más de 36.000 pesetas en libros de texto al año?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste entre 30.000 y 40.000 pesetas en libros de texto al año?
4. Se quiere encontrar un rango de gastos en libros en el cual se incluyan el 80% de los estudiantes de esta universidad. Explicar porque pueden encontrarse infinitos rangos que cumplan esta condición, y encontrar el rango más corto posible.

1. El tiempo que se demora un operador en hacer un trabajo sigue una distribución normal con media de 1 hora y desviación de 10 minutos. Si una empresa tiene 50 operadores, cuántos de ellos realizarán el mencionado trabajo

1. En menos de 55 minutos?
2. En más de 70 minutos?

1. Al establecer garantías sobre aparatos HDTV, el fabricante quiere establecer los límites de tal manera que pocos aparatos necesiten reparación con cargo al fabricante. Por otra parte, el período de garantía debe ser lo suficientemente prolongado para hacer atractiva la compra para el comprador. El número medio de meses hasta el cual se requieren reparaciones para un HDTV es de 36.84 meses con una desviación estándar de 3.34 meses. ¿Dónde deben establecerse los límites de garantía de manera de que sólo el 10% de los televisores necesiten reparaciones con cargo al fabricante?

1. La vida útil de un neumático de determinada marca sigue una distribución normal con media 35.000 kilómetros y desviación típica 4.000 kilómetros.

1. ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene un tiempo de vida superior a 38.000 kilómetros?
2. ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene un tiempo de vida inferior a 32.000 kilómetros?
3. ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene un tiempo de vida entre 32.000 y 38.000 kilómetros?

1. Una compañía telefónica ha determinado que el tiempo total de duración de las llamadas realizadas mensualmente por sus clientes menores de 35 años, medido en minutos, sigue una distribución normal de media 100 y desviación típica 25.        

1. Calcula la probabilidad de que un cliente facture menos de 2 horas en llamadas.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente facture entre 80 y 110 minutos?
3. La empresa decide iniciar una campaña para premiar a aquellos clientes que acumulen en llamadas más del doble de los minutos esperados. ¿Qué porcentaje de los usuarios se beneficiaran en dicha campaña?
4. Para los clientes que facturan poco, se piensa en incentivarlos por medio de un sistema de retribuciones en especie. Si se quiere incluir en ese programa al 1% de los clientes, ¿cuál es la duración total en minutos que debe acumular como máximo un cliente para ser incluido en la promoción?

1. Una compañía de suministro de electricidad ha determinado que el consumo, medido en Kw/h, de una vivienda familiar durante un mes, sigue una distribución normal de media 300 y desviación típica 50.

1. Calcula la probabilidad de que una familia consuma 245 kw/h en un mes.
2. Calcula la probabilidad de que se consuman entre 200 y 300 Kw/h.
3. ¿Qué porcentaje de viviendas consumirán más de 300 kw/h?
4. ¿Qué porcentaje de viviendas familiares consumirán menos de 250 Kw/h?¿Y más de 350?

1. El peso de los comprimidos producidos por un laboratorio es una variable aleatoria que se distribuye en forma normal con media 2,31 g. y desviación estándar 0,4 g. Cuál es la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria de 10 comprimidos, todos tengan un peso comprendido entre 2,10 g y 2,52 g?

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