Control Estadistico De Calidad Y Seis Sigma

Conceptos de probabilidad

Distribuciones discretas

Distribución normal

Verificación de normalidad (gráficas de probabilidad)

Distribuciones derivadas del muestreo

Sumario

Introducción a la probabilidad

Objetivos de aprendizaje

Identificar los principales conceptos relativos a la probabilidad y la importancia de ésta en el control estadístico de la calidad.

Conocer las características y definiciones de las distribuciones discretas: binomial, geométrica, hipergeometrica y de poison así como la distribución normal y sus propiedades.

Explicar la importancia del papel o grafica de probabilidad para verificar la normalidad de los datos.

Describir las principales distribuciones que surgen del muestreo.

En este capítulo se presenta la introducción a los conceptos de probabilidad, tales como variable aleatoria y distribución de probabilidad. En particular, se estudian algunas funciones de distribución específicas, que son la base de muchos métodos del control estadístico y de Seis Sigma.

Conceptos de probabilidad

Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no puede anticiparse aun cuando se busque repetirlo de la misma manera y bajo las mismas condiciones. Algunos ejemplos son: la medición de las piezas fabricadas con un mismo proceso, el número de defectuosos en lotes de 100 unidades, la cantidad de llamadas que recibe un conmutador durante un lapso de tiempo determinado. La probabilidad y la estadística estudian modelos (abstracciones de la realidad) que permiten estudiar las variaciones que se observan en la salida de un sistema. Estos modelos se emplean para comprender, describir y cuantificar aspectos importantes del sistema así como para predecir la respuesta del sistema a diversas entradas.

Para modelar y analizar un experimento aleatorio, es necesario comprender el conjunto de resultados posibles del experimento. Este conjunto se conoce como espacio muestral (S) del experimento. Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Interpretación de la probabilidad

Es útil cuantificar la posibilidad de que se presente cierto resultado o evento de un experimento aleatorio. Para ello, se obtiene o asigna un número del intervalo [0, 1], o un porcentaje entre 0 y 100%. Por ejemplo, P(A)  0.2 es una afirmación que refleja cierta creencia sobre la posibilidad de que ocurra el evento A; Entre más grande sea el número, será mayor la probabilidad de ocurrencia. Por otro lado, si dos eventos B y C tienen probabilidades P(B)  0 y P(C)  1, el primero es el evento imposible y el segundo es el evento seguro.

En muchos experimentos aleatorios los resultados son directamente interpretables, es decir, al mismo tiempo son valores de la variable aleatoria de interés. En otros casos, los posibles valores de la variable aleatoria no son directamente los resultados del experimento, sino que surgen al asociar números a dichos resultados y, dicha asociación, refleja la característica o aspecto de interés en el experimento. Es muy claro que el valor que toma la variable en un momento dado no se puede anticipar, ya que éste se define con base en el resultado de un experimento aleatorio. Una función que asocia un número con cada resultado de un experimento aleatorio se conoce como variable aleatoria. El conjunto de los posibles valores de una variable aleatoria X recibe el nombre de rango de X.

La variable aleatoria discreta es aquella que tiene un rango finito (o infinito numerable). Por ejemplo, el número de tornillos defectuosos en una muestra aleatoria de tamaño 15, o el número de llamadas de servicio que hacen los clientes durante un mes. Si el rango de una variable aleatoria X contiene un intervalo (finito o infinito) de números reales, entonces X es una variable aleatoria continua. Algunos ejemplos de variables continuas son: peso, volumen, longitud, voltaje, resistencia, ángulo, espesor, entre otras.

El evento que está formado por todos los resultados para los que X = x, se denota por {X = x}, y la probabilidad de éste por P(X = x). La distribución de probabilidad de X o distribución de una variable aleatoria X es una descripción del conjunto de valores posibles de X, junto con la probabilidad asociada a cada uno de estos valores. La distribución se representa a través de una tabla que relaciona resultados con probabilidades, o bien, por medio de una fórmula.

En el caso discreto, la función f (x) = P(X = x) que va del rango de X al intervalo [0, 1] recibe el nombre de función de probabilidad, y cumple con las siguientes propiedades:

f(x) P(X  x) (la función f (x) da la probabilidad).

f(x) ≥0 para toda x (no hay probabilidades negativas).

∑_x▒〖f(x)〗 1 (la suma de las probabilidades de todos los posibles valores de X es  1).

En el caso continuo, estas mismas propiedades se enuncian de la siguiente forma: si f(x) es una función de densidad de probabilidades de la variable aleatoria continua X; entonces, para cualquier intervalo de números reales [x1, x2], se cumple:

f(x) ≥0 (aquí f(x) no es una probabilidad).

∫_(-∞)^(+∞)▒〖f(x)dx=1〗 (el área bajo toda la curva es 1).

p(x_1≤x≤x_2 )= ∫_(x_1)^(x_2)▒f(u)du (la probabilidad es igual al área bajo la curva entre los valores x1 y x2).

Media o valor esperado de una variable aleatoria

Si una distribución es un buen modelo, entonces a través de ella se encuentran las principales características del sistema (población o proceso), tales como su tendencia central y variabilidad. La media μ de una variable aleatoria discreta que puede tomar los n valores x1, x2,..., xn está dada por:

μ=E(x)=∑_i▒x_i f(x_i )=∑_i▒x_i P(X=x_i)

Donde E(X)=x_1 p(x_1 )+x_2 p(x_2 )+⋯+x_n p(x_n ), se lee como “valor esperado de X”. La varianza de la variable aleatoria X se puede definir en términos del valor esperado como:

σ^2=V(X)=E〖(X-μ)〗^2=〖∑_i▒〖(x_i 〗-μ)〗^2 f(x_i )=E(x^2 )-μ^2

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta X, denotada por F(x), es

F(x)=P(X≤x)=∑_(x_i^(≤x))▒〖f(x_i 〗)

En el caso continuo, se sustituyen las sumas por integrales y las relaciones correspondientes serían:

E(X)=∫_(-∞)^(+∞)▒xf(x)dx;Var(X)=∫_(-∞)^(+∞)▒〖(x-〖μ)〗^2 〗 f(x)dx y F(x)=∫_(-∞)^(+∞)▒f(x)dx

Distribuciones discretas

A continuación se estudiaran las siguientes distribuciones discretas: binomial, geométrica, hipergeométrica y de Poisson, que son de uso frecuente en control de calidad.

Distribución binomial

Es frecuente que en control de calidad se den variables del tipo “pasa, no pasa”. Por ejemplo, un artículo cumple con especificaciones o no, una pieza resiste cierta fuerza o no, una lámpara enciende o no. Un experimento aleatorio donde los posibles de cada ensayo son: “éxito” o “fracaso” se conoce como experimento Bernoulli. En control de calidad se suele llamar “éxito” al resultado con connotación negativa de los dos posibles, dado que el interés de un estudio se enfoca directamente a investigar como reducir la ocurrencia de éstos. Un experimento aleatorio que consiste en una secuencia de n ensayos independientes Bernoulli con probabilidad de éxito constante p, recibe el nombre de experimento binomial.

La variable aleatoria X, que es igual al número de ensayos donde el resultado es un éxito, tiene una distribución binomial (n, p). La función de probabilidades de X es,

f(x;n;p)=(n¦x) p^x 〖(1-p)〗^(n-x),x=0,1,2…,n

donde

(n¦x)= n!/x!(n-x)!

es el número de combinaciones de n elementos tomados de x en x.

Aquí, p generalmente es la proporción promedio de artículos defectuosos. Algunos ejemplos típicos para esta distribución son los siguientes:

Un proceso produce 5% de piezas defectuosas. Sea X el número de piezas defectuosas en las siguientes 20 piezas producidas.

En una zona marítima se ha determinado que el porcentaje de incidencia del Virus del cólera de 20%. Sea X las muestras positivas en los siguientes 15 muestreos.

En la prueba final de artículos electrónicos se tiene un historial de que 1% tiene alguna falla que es necesario reparar antes de liberarlo. Sea X la cantidad de artículos con fallas en los siguientes 50 inspeccionados.

De los nacimientos en un hospital, sea X la cantidad de niños varones en los siguientes 10 nacimientos.

Si X es una variable aleatoria con distribución binomial (n, p), entonces su media y varianza son:

μ=E(X)=mp y σ^2=V(X)=np(1-p)

Para propósitos de interpretación es más adecuado trabajar con la proporción (X/n), en lugar de con el número X (de artículos defectuosos). Entonces, su distribución acumulada está dada por:

P((_p^^)≤r)=P(X/n≤r)=P(X≤nr)=∑_(x=0)^[nr]▒(n¦x) p^x 〖(1-p)〗^(n-x)

donde [nr] es igual al entero más grande que es menor o igual a nr. La media de p^ es p y su varianza es p(1 – p)/n.

En la hoja de cálculo Excel se pueden evaluar las probabilidades con la distribución binomial, para ello se utiliza la función:

DISTR.BINOM

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