EJERCICIOS DE ESTADISTICA

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.

Conceptos generales:

Uno de los objetivos de la estadística es el conocimiento cuantitativo de una determinada

parcela de la realidad. Para ello, es necesario construir un modelo de esta realidad particular

objeto de estudio, partiendo de la premisa de que lo real es siempre más complejo y

multiforme que cualquier modelo que se pueda construir.

Distribuciones.

- Uniforme discreta

- Binomial

- Hipergeométrica

- Geométrica

- Binomial Negativa

- Poisson

Distribución Binomial (n,p):

La distribución binomial es una distribución discreta muy importante que surge en muchas

aplicaciones bioestadísticas.

Esta distribución aparece de forma natural al realizar repeticiones independientes de un

experimento que tenga respuesta binaria, generalmente clasificada como “éxito” o “fracaso”.

Por ejemplo, esa respuesta puede ser el hábito de fumar (sí/no), si un paciente hospitalizado

desarrolla o no una infección, o si un artículo de un lote es o no defectuoso. La variable

discreta que cuenta el número de éxitos en n pruebas independientes de ese experimento,

cada una de ellas con la misma probabilidad de “éxito” igual a p, sigue una distribución

binomial de parámetros n y p.

Distribución Hipergeométrica (N,R,n):

La distribución hipergeométrica suele aparecer en procesos muestrales sin reemplazo, en los

que se investiga la presencia o ausencia de cierta característica. Piénsese, por ejemplo, en un

procedimiento de control de calidad en una empresa farmacéutica, durante el cual se extraen

muestras de las cápsulas fabricadas y se someten a análisis para determinar su composición.

Durante las pruebas, las cápsulas son destruidas y no pueden ser devueltas al lote del que

provienen. En esta situación, la variable que cuenta el número de cápsulas que no cumplen

los criterios de calidad establecidos sigue una distribución hipergeométrica. Por tanto, esta

distribución es la equivalente a la binomial, pero cuando el muestreo se hace sin reemplazo.

Esta distribución se puede ilustrar del modo siguiente: se tiene una población finita con N

elementos, de los cuales R tienen una determinada característica que se llama “éxito”

6(diabetes, obesidad, hábito de fumar, etc.). El número de “éxitos” en una muestra aleatoria

de tamaño n, extraída sin reemplazo de la población, es una variable aleatoria con

distribución hipergeométrica de parámetros N, R y n.

Distribución Poisson.

La distribución de Poisson, que debe su nombre al matemático francés Simeón Denis Poisson

(1781-1840), ya había sido introducida en 1718 por Abraham De Moivre como una forma

límite de la distribución binomial que surge cuando se observa un evento raro después de un

número grande de repeticiones

10

. En general, la distribución de Poisson se puede utilizar

como una aproximación de la binomial, Bin(n, p), si el número de pruebas n es grande, pero

la probabilidad de éxito p es pequeña; una regla es que la aproximación Poisson-binomial es

“buena” si n≥20 y p≤0,05 y “muy buena” si n≥100 y p≤0,01.

La distribución de Poisson también surge cuando un evento o suceso “raro” ocurre

aleatoriamente en el espacio o el tiempo. La variable asociada es el número de ocurrencias

del evento en un intervalo o espacio continuo, por tanto, es una variable aleatoria discreta

que toma valores enteros de 0 en adelante (0, 1, 2,...). Así, el número de pacientes que llegan a

un consultorio en un lapso dado, el número de llamadas que recibe un servicio de atención a

urgencias durante 1 hora, el número de células anormales en una superficie histológica o el

número de glóbulos blancos en un milímetro cúbico de sangre son ejemplos de variables que

siguen una distribución de Poisson.

El concepto de evento “raro” o poco frecuente debe ser entendido en el sentido de que la

probabilidad de observar k eventos decrece rápidamente a medida que k aumenta.

EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN:

20. Un abogado va todos los días, de su casa en las afueras de la ciudad, a su oficina en el centro. El tiempo promedio para un viaje de ida es de 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente.

Distribución Binomial. Solución:

a. Cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos 1/2 hora.

= 1.58 = = 0.057

b. Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y él sale a diario de su casa a las 8:45 a.m. ¿Qué porcentaje de veces llega tarde al trabajo?

= - 2.37 = = 0.991 % llegará tarde.

c. Encuentre la longitud del tiempo por arriba del cual encontramos el 15% de los viajes más lentos.

17. Un estudio de las filas en las cajas de una entidad bancaria reveló que durante un cierto periodo en la hora más pesada, el número de clientes en espera, era en promedio de cuatro. Cuál es la probabilidad de que:

Distribución de Poisson, solución:

1. En la próxima hora no haya clientes esperando

2. En la próxima media hora dos clientes estén en espera

3. En un cuarto de hora dos o más clientes estén en espera

RESUMEN MANEJO DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCION BINOMIAL:: Es de variable aleatoria y discreta, es una de las mas importantes por sus aplicaciones, corresponde a un experimento aleatorio y cumple con las siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito o su contrario A’, llamado fracaso.

* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra. Si llamamos p a la probabilidad de A, p(A) = P, entonces p (A’) = 1 – p = q

* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.

Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.

En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

Para el cálculo de estas probabilidades se han creado tablas para algunos valores de y , existen tres métodos de distribución de probabilidad:

a) Utilización del Minitab 15.

b) Utilización de la fórmula

c) Utilización de las tablas binomiales

VARIABLE ALEATORIA:

Una Variable aleatoria X es una regla que asigna un valor numérico a cada resultado en el espacio mestrual de un experimento.

Una variable aleatoria discreta puede tomar en específico, aislado valor numérico, como resultado de lanzar un dado, o el número de dolares en una cuenta bancaria escogido de forma aleatoria.

Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor dentro de un continuo intervalo de tiempo, como la temperatura en el Parque Central, o la altura de un atleta en centrimetros.

Variable aleatoria discreta que sólo puede asumir finitamente muchos valores (como el resultado de lanzar un dado) se llama variables aleatorias finitas.

Distribución de probabilidad

La probabilidad P(X = x) es la probabilidad de que X realiza el valor x. Del mismo modo, la probabilidad P(a < X < b) es la probabilidad de que X se encuentre entre ay b.

Estas probabilidades pueden ser estimadas, o teoréticas (modeladas) (véa el capítulo 7 de matematicas finitas o el resumen de probabilidad para una discusión de los tipos de probabilidad.)

Para una variable aleatoria finita, la colección de números P(X = x) a medida que varia x se llama la distrubuición de probabilidad de X. Es frecuentemente útil representar gráficamente la distrubución de probabilidades por un histograma.

Pulse aquí para una utilidad en-línea que genera cualquier distrubución de probabilidad y también muestra el histograma.

DISTRIBUCION DE POISSON

Es de variable aleatoria discreta proviene de un francés llamado Simeón Deneis Posson y possen ciertas características:

- # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.

- # de bacterias por c m2 de cultivo

- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.

- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar es:

p(X) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es l.

l = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

e = 2.718 (base de logaritmo neperiano o natural)

X = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

DISTRIBUCION NORMAL

Probabilidad de variable aleatoria continua, elabora desarrollos continuos y profundiza en la formulación de la curva, está determinada por dos parámetros, la densidad de la normal está dada por la ecuación principalmente.

Existen dos razones básicas por las cuales la distribución normal ocupa un lugar tan prominente en la estadística

• Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en la que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.

• La distribución normal casi se ajusta a las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo características humanas, resultados de procesos físicos y muchas otras medidas de interés para los administradores, tanto en el sector público como en el privado

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA:

Considera no solo los elementos de muestra sino también los elementos de la población,considera la existencia de éxitos y/o fracasos en una población conocida, y de la cual se extrae una muestra sin remplazo donde también existen éxitos o fracasos.

Su principal aplicación es en el muestreo de aceptación y control de calidad donde de un lote de artículos se toma una muestra y se analiza para decidir si se acepta o rechaza todo el lote

FUENTES DE INFORMACION:

http://www.zweigmedia.com

http://colposfesz.galeon.com

http://www.monografias.com

http://habitantedelinfinito.blogspot.com

EJERCICIOS

1. Suponga que un conductor de automóvil que maneja con exceso de velocidad, puede ser detectado por un sistema de radar. Se dice que de cada diez con exceso de velocidad, seis son detectados Un automovilista va con exceso de velocidad, en viaje entre Bogotá y Tunja. Durante el trayecto hay ocho estaciones de vigilancia por radar.

a. ¿Que probabilidad hay de que este automovilista, por lo menos cinco veces, sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

b. ¿Cuántas veces se espera que sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

A)

n=8 PROBABILIDAD BINOMIAL

p=(6 detectados)/(10 exceso de velocidad )=0,6

p(x)=(nCx) P^X (1-〖P)〗^(n-x)

x≥5 p(x≥5)=p(x=5)+p(x=6)+p(x=7)+p(x=8)

p(x=5)=(8C5)(0,〖6)〗^(5 ) (1-0,〖6)〗^(8-5)=0,28

p(x=6)=(8C6)(0,〖6)〗^(6 ) (1-0,〖6)〗^(8-6)=0,21

p(x=7)=(8C5)(0,〖6)〗^(7 ) (1-0,〖6)〗^(8-7)=0,04

p(x=8)=(8C5)(0,〖6)〗^(8 ) (1-0,〖6)〗^(8-8)=0,02

p(x≥5)=0.6=60% De probabilidad de que sea detectado conduciendo con exceso de velocidad

B) 60% De probabilidad*8 Estaciones de vigilancia por radar=4 veces promedio se espera que sea

C) p(x=0)=(8C5)(0,〖6)〗^(0 ) (1-0,〖6)〗^(8-0)=0,0006=0,06%

p(x=0)=(8C5)(0,〖6)〗^(0 ) (1-0,〖6)〗^(8-0)=0,0006=0,06% De probabilidad de no ser detectado conduciendo con exceso de velocidad

2. Un ejecutivo bancario recibe 10 solicitudes de crédito. Los perfiles de los solicitantes son similares, salvo que 4 pertenecen a grupos minoritarios y 6 no. Al final el ejecutivo autoriza 6 de las solicitudes. Si estas autorizaciones se eligen aleatoriamente del grupo de 10 solicitudes

a. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de la mitad de las autorizaciones sean de solicitudes de personas que pertenecen a grupos minoritarios?

b. Cuantas solicitudes se espera que sean autorizadas para grupos minoritarios

A) PROBABILIDAD HIPERGEOMETRICA

p(x=1)+p(x=2)=((4¦1)((10-4)¦(6-1))+(4¦2)((10-4)¦(6-2)))/((10¦6) (10¦6) )

4/35+3/7+19/35=0,54% de probabilidad de que menos de la mitad de las autorizaciones sean de solicitudes de perso.

B) E(x)=(n*d)/(N )=(6*4)/10=2,4=2 Solicitudes se esperan que sean autorizadas para grupos minoritarios

3. Los clientes llegan a una exhibición a razón de 6,8 clientes/hora. Calcule la probabilidad que:

a. en la primera media hora por lo menos lleguen dos clientes.

b. en el primer cuarto de hora no llegue ningún cliente.

c. en cualquier hora dada llegue más de un cliente

A)

PROBABILIDAD POISSON

p(X)=(x^X e^(-x))/X!

x=6,8 cliente/hora

x/2=3,4 cliente/30min

p(X<2)=(e^(-3.4) 3,4^(-2))/2!

p(X>2)=1-P(X<2)=1-0,19=0,81 promedio de que lleguen dos clientes en la primera media hora

B)

x/2=3,4 cliente/30min x/4=1,7

p(X=0) e^(-1,7)=1,18 en el primer cuarto de hora no llegue ningun cliente

C)

p(x>1)=(e^(-x) x^1)/1=0,99 en cualquier hora dada llegue mas de un cliente

Marcas: DISTRIBUCION BINOMIAL:p(X=x)=n!/(x!(n-x)! ) p^(x ), DISTRIBUCION DE POISSON:p(x_1 x)= (x^x e^(-x))/x!, DISTRIBUCION NORMAL:f(x)=∫_(-a)^x 1/(0√2π) e ((x-1,DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA:p(x)=(k¦x)((N-K)¦(n-x

Distribución Binominal

Definición

la distribución binomial es una distribuciión de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de bernoulli ndependientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos.

DISTR.BINOM(núm_éxito;ensayos;prob_éxito;acumulado)

Formula P(X)=

* Distribución de Poisson

Definición

la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".

POISSON.DIST(x;media;acumulado)

* Distribución Hipergeometrica

Definición

En teoria de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.

DISTR.HIPERGEOM(muestra_éxito;núm_de_muestra;población_éxito;núm_de_población)

* Distribución Normal

Definición

Distribución normal, distribución de Gauss odistribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales

DISTR.NORM(x, mu, sigma, acumulado)

Ejercicio Nro. 3

Los clientes llegan a una exhibición a razón de 6,8 clientes/hora. Calcule la probabilidad que:

A. En la primera media hora por lo menos lleguen dos clientes.

B. En el primer cuarto de hora no llegue ningún cliente.

C. En cualquier hora dada llegue más de un cliente.

Utilizamos la Distribuicion de Poisson para definir la variable aleatoria X

x=Cantidad de clientes que llegan a la exhibicion

λ=6,8 Clientes/hora

P=(x,λ)=λ^x*^λ

x=!

iniciamos nuestro calculo con la primera incognita

A..En la primera media hora por lo menos lleguen dos clientes

para definir la variable aleatoria remplazamos para saber cuando vale λ en el tiempo de la media hora.

λ= e(x)=6.8/2=3.4

λ=3.4

parametros

λ=3.4 x=2 {0,1} e= 27128

Sustituimos

P( )=1P( )=1-[P(x=0)+p(x=1)]

Reemplazamos

P(X=0)=3.4^0*e^3.4=e^--3,4=0.033

0!1

P(X=1)=3.4^1*e^-3.4=3.4*e^-3.4=3.4*0.033=0.112

1!11

1-[P(x=0)+P(x=1)]=1-[0.033+0.112]=1-0145=0.855=85.5%

La probabilidad que en la primera media hora lleguen dos clientes es de 85.5%

B. En el primer cuarto de hora no llegue ningún cliente.

para esta incognita iniciamos definiendo cuanto vale λ

λ=e(x)=6.8/4=1.7----- 1

λ=1.7

Parametros

λ=1.7 X=0 e=2.728 P ( )=

P(x,λ)=λ^x*e^-λ

x!

Reemplazar

P(0,1.7)=1.7^0*e^-1.7=1*e^-1.7=e^-1.7=0.18

0!1

Probabilidad de que en el primer cuarto de hora no llegue ningún cliente es de 18.2%

C. en cualquier hora dad llegue mas de un cliente.

al finalizar responderemos a la ultima incognita

Promedio (x=0>2)=-1P(x=0<1)=1-[PX=o)+P(x=1)]

Parametros

λ=6.8x=numero de clientes e=2.728

P(x,λ)=λ^x*e^-λ

x!

Reemplazar

P(1,6.8)=6.8^^1*e^-6.8=6.8*1.113=7.56.

1!1

La probabilidad que en cualquier hora llegue mas de un cliente es de 7.56%

Ejercicio Nro. 4

El numero de demandas presentadas a una compañia de seguros, en promedio es de cuatro por dia cual es la probabilidad que:

A. En un dia cualquiera no se presenta ninguna demanda.

B. Por lo menos se presenten tres demandas en dos dias.

Desarrollo primera incognita

A. Utilizamos la distribucion de poisson y procedemos:

x=0 demandas en un dia cualquiera

=4 demandas por dia

P(x=0)= 0!

e(x)=4

Var(x)=4

B. Por lo menos se presentan tres demandas en dos dias.

x=3 Demandas en dos dias

=4.1 Dia

= X 2 Dias

=8 2 Dias

X=3 Demandas en 2 dias

P(x3)=1-P(x2)

=1- 0! 1 ! 2!

=0,9862

Ejercicio Nro. 20

Un abogado viaja todos los dias de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje solo de ida es 24 minutos, con una desviacion estandar de 3.8 minutos. Suponga que la distribucion de los tiempos de viaje esta distribuida normalmente.

A. ¿ cual es la probabilidad de que un viaje tome al 1/2 dias?

B. si la oficina abre a las 9:00 am y el sale a diario de su casa a las 8:45am ¿que porcentaje de veces llega tarde al trabajo?

C. Si sale de su casa a las 8:35 am, Cual es la probabilidad de que se pierda el café?

D.encuentre la longitud del tiempo por arriba del cual encontramos el 15% de los viajes mas lentos

E.Encuentre la probabilidad de que 2 de los siguientes 3 viajes tomen al menos 1/2 hora.

Desarrrollo

iniciamos con la primera incognita

A. Z= =1.58 P (x>30) = P(z>1.58)=0.0571

B. Z= =-2.37 P(X>15)=P(Z>2.37)=0.9911

= 99.11% de las veces llega tarde al trabajo

C. Z= =0.26 P(x>25)=P(z>0.26)=0.3974

D. Z= 1.04 X=(3.8)(1.04)+24=27.952 min

E. Distribución Binominal P=0.0571

b(2;3,0.0571=(3/2)( 0 .0571)^2(0.9429)=0.0092

...