MODELO INDEX Y MULTIFACTOR

CAPITULO 10 – BKM[pic 1]

MODELO INDEX Y MULTIFACTOR

[pic 2]

10.1. Single Index Security Market

Riesgo sistemático versus riesgo sistemático de la firma

Existen muchos problemas con los datos:

- Un primer problema es la cantidad de datos que se necesita para estimar el modelo CAPM (con n = 50):

N                     =       50            estimaciones de retornos esperados

N                     =       50            estimaciones de varianzas estimadas

(N2 – N)/2       =     1225          estimaciones de covarianzas

1. estimaciones

Y eso que 50 es un numero pequeño, si aumentamos ese número la cantidad de estimaciones crece crecientemente.

- Otro problema es que los datos a veces son inconsistentes, como por ejemplo con tres activos, los tres con una desviación estándar de 20%, la matriz de covarianzas es: [pic 3]

 lo que claramente es inconsistente (si B se correlaciona con A, y A con C, por lo tanto B se debería correlacionar con C).

        En general las covarianzas deben ser positivas, ya que todas las variables se correlacionan por el hecho de estar todas influidas por las mismas variables macroeconómicas. Por esto, podemos expresar el retorno de los activos como:

ri =E(ri ) + mi + ei      

E(ri ) = son los retornos esperados de un security

mi      = es el impacto no anticipado de eventos macroeconómicos

ei     =  es el impacto no anticipado de eventos específicos de la firma. (Nuevos inventos, salida de empleados claves y otros factores que afecten individualmente a la firma)

Single–factor model

Mide los retornos del capital, la única diferencia con el modelo anterior es que se cambia mi  por el factor Fβi   donde F es el no anticipado componente macroeconómico y βi representa a como responde el security ante un evento macroeconómico. Esto se hace para demostrar que cada firma responde distinto a los efectos macro.

ri =E(ri ) + Fβi + ei      

Single–index model

El anterior modelo no tiene una manera específica para medir lo que afecta el retorno del security. Un razonable sistema es usar el S&P 500, así nace este nuevo modelo. Se usa los excesos de retorno sobre un t- bills pues, por ej, en 1950 donde los t-bills eran de 2% y el retorno de mercado de capitales es del 8% es muy diferente a cuando en 1980 los t- bills tenían una rentabilidad superior al 10%.

ri -rf = αi + βi( rm – rf ) + ei      

Y expresándola en exceso de retorno:

Ri  = αi + βiRm + ei           , donde  αi  es el retorno esperado si el retorno de mercado es cero, βiRm es la respuesta del activo a los movimientos del mercado, y ei  son los eventos inesperados propios de la firma.

Representando la varianza: σ2i = β2iσ2m + σ2(e)   ; y la covarianza: cov(Ri, Rj) =    cov (αi + βiRm + ei , αj + βjRm + ej  ) =  cov(βiRm , βjRm) = βiβj σ2m

Es decir, necesitamos solo  3n + 1 datos para estimar el modelo index (n estimaciones de retorno, n estimaciones de betas, n estimaciones de varianzas, y una estimación de la varianza de los factores macro) muy por debajo de lo que se necesitaba  al comienzo sin  que se usara el index model, lo que representa una ventaja. Otra ventaja es que el index model es crucial para especializar el esfuerzo en el análisis de los securitys, así, si el termino covarianza se calculara como al comienzo por cada par de securitys, entonces el análisis de securitys no se especializaría por industria. Por ejemplo, si un grupo se especializara en la industria de computadoras y otro en la industria de autos, ¿como se calcularía la covarianza entre estas industrias? Ninguno de los grupos tiene el entendimiento de la otra industria como para mostrar la covarianza entre ellos. La solución que plantea el index model es que se utilicen los Betas y un factor común como es el market idex return  (σ2m ) para calcular la covarianza. Esta simplificación tiene un costo, el cual yace en la estructura de la del retorno inciertos de los activos. Así aparece una dicotomía entre riesgo macro y micro. Ganando fuentes macro y perdiendo fuentes micro, esto puede traer problemas como que eventos que afectan a firmas dentro de una industria no afecten el plano macroeconómico y no se vean reflejados en el caluculo.

Estimando el modelo index

        Por ejemplo corriendo la siguiente regresión para General Motors RGM  = αGM + βGMRm + eGM:

                  Error estándar

α = -2.59        (1.547)

β = 1.1357      (0.309)

Varianza residual (eGM) = 12.601

Desviación estandar residual = 3.55

R2 = 0.575

Modelo index y diversificación

Dado Ri  = αi + βiRm + ei , podemos extrapolarlo a Rp  = αp + βpRm + ep. Suponiendo un portafolio equally weighted (wi = 1/n):

Rp = [pic 4] = (1/n)[pic 5] = (1/n)[pic 6](αi + βiRm + ei) = (1/n)[pic 7]αi +

...